Kann mir bitte jemand erklären wie diese Grenzwertberechnung geht?
Die Aufgabe lautet:
und die Lösung soll -4 sein.
Mein Ansatz war, um im Zähler die Wurzeln los zu werden, die ganze Funktion mit Funktion / Funktion zu multiplizieren.
Danach würde im Zähler stehen:
x^2 - x - x^2 - 7x = -8x
und im Nenner bleibt die Funktion
Jetzt komme ich aber nicht weiter, da ich nicht weiß wie ich die Wurzeln im Nenner weg bekomme.
Kann mir jemand erklären wie ich die Wurzeln im Nenner los werde?
1 Antwort
Hallo,
bei Summen oder Differenzen von Wurzeln denk an die dritte binomische Formel:
Wurzel (a)+Wurzel (b) erweitert mit Wurzel (a)-Wurzel (b) ergibt
(a-b)/[Wurzel (a)-Wurzel (b)].
Wende dieses Prinzip an.
Außerdem kannst Du aus Wurzel (x²+n) zunächst x² ausklammern:
Wurzel [(x²*(1+n/x²)], anschließend das x² vor die Wurzel holen:
x*Wurzel (1+n/x²). Nun kann das x gegen ein eventuelles x als Faktor im Zähler gekürzt werden.
Der Ausdruck n/x² geht für x gegen unendlich gegen Null. Was bleibt?
Versuch es jetzt noch mal. Der Grenzwert -4 ist korrekt.
Herzliche Grüße,
Willy
[√(x²-x)- √(x²+7x)]*[ √(x²-x)+ √(x²+7x)]/[ √(x²-x)+ √(x²+7x)]
=(x²-x-x²-7x)/[ √(x²-x)+ √(x²+7x)]=-8x/[ √(x²-x)+ √(x²+7x)]
=-8x/[ √(x²*(1-1/x))+ √(x²*(1+7/x)]=-8x/[x*( √(1-1/x)+ √(1+7/x)]
=-8/( √(1)+ √(1))=-8/2=-4
Die Terme -1/x und 7/x gehen für x gegen unendlich gegen Null und fallen daher weg.
Okay, ich hab den Fehler bei x^2 gemach. Vielen Dank! @Willy1729
Dann hab ich aber glaub ich einen Fehler im Zähler gemacht oder? Weil wenn ich x^2 ausklammern tue, dann kürzt sich im Zähler -8x zu -8 und im Nenner das x^2 zu x. Dann hab ich im Nenner stehen: x[√(1-1/x) - √(1 + 7/x)] und damit -8 / unendlich, was aber falsch ist. @Willy1729