Kann mir bitte jemand diese Aufgabe ausführlich berechnen?
3 Antworten
Nein, das tue ich nicht, weil mich die flasche Silbentrennung in Deinem Text beleidigt.
Aber ich gebe Dir einen Hinweis: Spiegle einen Punkt an der Ebene und check nach, ob dabei ein anderer Punkt aus der Liste herauskommt. Zum Spiegeln legst Du eine Gerade durch den Punkt X normal auf die Ebene, bestimmst den Schnittpunkt S und berechnest die Koordinaten des Spiegelpunktes als X₁=X+2⋅XS. Wenn Du weißt, wie affine Transformationen funktionieren, dann kannst Du das beschleunigen, indem Du eine 4×4-Transformationsmatrix aufstellst und den Spiegelpunkt einfach durch eine Maxtrix–Vektor-Multiplikation bekommst.
Nein, das tue ich nicht, weil mich die flasche Silbentrennung in Deinem Text beleidigt.
Die "flasche" also. Oder meintest du "falsche"?
In seinem/ihrem Text kommt gar keine Silbentrennung vor. Und für den Text der Aufgabenstellung kann er/sie doch nichts!
Zu deinem Hinweis:
Ja, kann man so machen - wenn man nach dem Motto lebt "warum einfach, wenn es auch kompliziert geht"
Vektor AB = B-A = (-1,1,3)
Vektor AC = C-A = (8,2,4)
Vektor AD = D-A = (-2,7,5)
Vektor BC = C-B = (9,1,1)
Vektor BD = D-B = (-1,6,2)
Vektor CD = D-C = (-10,5,1)
Der Normalenvektor der Ebene lautet n=(4,1,2). Der einzige Vektor mir der gleichen Richtung ist der Vektor AC, denn AC = 2*n. Deshalb kommen nur die Punkte A und C in Frage.
Um noch die Symmetrie von A und C bezüglich der Ebene zu beweisen, berechnet man den Mittelpunkt von AC
M = (A+C)/2 = (7,2,7)
Da der Mittelpunkt M die Ebenengleichung erfüllt und damit auf der Ebene liegt, haben A und C den gleichen Abstand von der Ebene.
A und C
weil A + 2*(4/1/2) = C
Was ist (4/1/2)?
Der Normalvektor auf die Ebene, den erhält man, indem man einfach die zahlen bei x und y und z abliest, jetzt müstest du aber noch prüfen, ob die Ebene genau in der Mitte zwischen den beiden Punkten liegt, dazu berechne A+(4/1/2) und setze das Ergebnis in die Ebenengleichung ein und überprüfe ob sich eine wahre Aussage ergibt. Ist das der Fall, so liegt die Ebene tatsächlich genau in der Mitte zwischen den beiden Punkten, was auch tatsächlich der Fall ist.
Eine notwendige Bedingung für eine zur Ebene symmetrische Lage von zwei Punkten ist, dass man von einem der vier Punkte mittels einem Vielfachen des Normalvektors (4/1/2) zu einem anderen Punkt gelangt, kannst du dir das vor deinem geistigen Auge räumlich vorstellen? Nun überprüfe mal, ob das für andere Punkte als die beiden Punkte A und C auch möglich ist.
Diese Bedingung ist aber erst eine notwendige noch keine hinreichende Bedingung für die zu untersuchende Symmetrie. Damit es hinreichend wird, muss man dann noch zeigen, dass die Ebene genau in der Mitte zwischen zwei Punkten liegt, so wie ich es oben für die beiden Punkte A und C getan habe. Hast du verstanden warum meine Berechnung oben das zeigt?
okay danke. Was ist mit b und d?