Kann mir bitte jemand bei der Frage c) helfen, habe am Montag Physik Test?
1 Antwort
Hallo Irem1205,
es ist doch
(1.1) t = γt₀ ⇔ t₀ = t⁄γ = t√{1 − (v⁄c)²},
und setzt man v = 2c, so kommt
(1.2) t₀ = t√{1 − 2} = t√{−t} = t∙i
heraus, wobei i die Imaginäre Einheit ist, mit der Eigenschaft i² = −1. Da wir davon ausgehen müssen, dass t eine reelle Zeit ist, muss t₀ also imaginär sein.
Da stellt sich die Frage, wie man so etwas physikalisch interpretieren könnte. Die kurze Antwort ist, dass dies keinen Sinn ergibt und v > c unmöglich ist; für einen Körper oder ein massives Teilchen ist sogar v ≥ c unmöglich.
Das nun Folgende …… ist für die Aufgabe selbst nicht wichtig, aber hilfreich für ein besseres Verständnis der Speziellen Relativitätstheorie (SRT); man kann sie nämlich als Geometrie der Raumzeit auffassen.
Koordinatensysteme; Zeitpunkte vs. ZeitspannenDie Bezeichnungen sind hier unglücklich gewählt. Zunächst einmal sollten die Uhren Bezeichnungen tragen, z.B. U₁, U₂, … für die relativ zueinander ruhenden Uhren und U' für die relativ zu ihnen bewegte Uhr. Auch das Inertialsystem, in dem U₁, U₂, … ruhen, sollte eine Bezeichnung tragen, z.B. Σ, natürlich ein raumzeitliches mit der Weltlinie (WL) einer der in Σ stationären Uhren als Zeitachse.
Nehmen wir an, dass sich U' mit konstanter 1D-Geschwindigkeit v (in x-Richtung von Σ) bewegt, ist auch ein von U' aus definiertes Koordinatensystem Σ' ein Inertialsystem; in ihm bewegen sich U₁, U₂, … mit −v (gleiches Tempo, entgegengesetzte Richtung).
Nach GALILEIs (!) Relativitätsprinzip (RP) sind Σ und Σ' physikalisch gleichwertig. Manche physikalische Größen haben in Σ und Σ' unterschiedliche Werte, aber ihre grundlegenden Beziehungen (nichts anderes sind Naturgesetze) sind identisch.
Im Text steht, dass die Uhren synchronisiert sind. Dies gilt freilich nur in Σ. In Σ' betrachtet laufen sie zwar alle gleich schnell (das nennt man isochron), aber U₂ geht gegenüber U₁ vor usw..
Eine Bezeichnung wie t₀ sollten eher für den Zeitpunkt eines Ereignisses E₀ stehen, wie er sich in Σ darstellt; der entsprechende Zeitpunkt in Σ' würde folglich t'₀ heißen. Zeitspannen zwischen zwei Ereignissen E₁ und E₂ würden besser mit Δt = t₂ − t₁ bzw. Δt' = t'₂ − t'₁ bezeichnet.
Koordinatenzeiten vs. EigenzeitΔt heißt die Σ- Koordinatenzeit und entsprechend Δt' die Σ'- Koordinatenzeit zwischen E₁ und E₂. Im Allgemeinen ist die Bestimmung von t₁ und t₂ bzw. t'₁ und t'₂ indirekt, da man die räumliche Entfernung der Ereignisse und ggf. die Geschwindigkeit berücksichtigen muss, die man sich selbst zuschreibt; sieht man sich selbst als bewegt an, wird man bei der Berechnung i.Allg. auf andere Ergebnisse kommen als wenn man sich als ruhend ansieht.
In diesem Fall soll t₀ bzw. Δt' eine von U' direkt gemessene Zeitspanne (Eigenzeit) sein; das setzt voraus, dass E₁ und E₂ beide in der Nähe von U' stattfinden, möglichst auch in derselben Position relativ zu U'. So kann E₁ die Begegnung von U' und U₁ und E₂ die Begegnung von U' und U₂ sein. Die Eigenzeit wird gern mit Δτ bezeichnet.
So schreiben wir (1.1) neu als
(2.1) Δτ = Δt√{1 − (v⁄c)²}.
Nun ist v nichts anderes als das Verhältnis Δx⁄Δt, wobei Δx = v∙Δt die in der Zeitspanne Δt von U' zurückgelegte Strecke ist (in unserem Beispiel die Entfernung zwischen U₁ und U₂). So können wir Δt unter die Wurzel ziehen und erhalten
(2.2) Δτ = √{Δt² − (Δx⁄c)²}.
Bis auf das Minuszeichen sieht das sehr nach PYTHAGORAS aus, und tatsächlich ist Δτ die absolute, d.h. in jedem Koordinatensystem identische Entfernung zwischen E₁ und E₂, der sogenannte MINKOWSKI- Abstand (MINKOWSKI war ein Professor von EINSTEIN).
In unserem Beispiel finden E₁ und E₂ beide in der t-x-Ebene statt. Der MINKOWSKI- Abstand zwischen zwei beliebigen Ereignissen ist natürlich
(3.1) Δτ = √{Δt² − (Δx² + Δy² + Δz²)⁄c²}.
Ereignisse, für die (3.1) reelle, positive Werte liefert, heißen zeitartig getrennt. Dieser Begriff verallgemeinert das Konzept der Gleichortigkeit, denn physikalisch bedeutet "zeitartig getrennt", dass es ein Koordinatensystem gibt, in dem sie am selben Ort zeitlich nacheinander stattfinden.
Ereignisse, für die (3.1) den Wert 0 liefert, heißen lichtartig getrennt. Wenn eines z.B. für die Absendung und das andere für den Empfang eines und desselben Licht- oder Funksignals steht, sind das solche Ereignisse.
Ereignisse, für die (3.1) imaginäre Werte liefert, heißen raumartig getrennt. Dieser Begriff verallgemeinert das Konzept der Gleichzeitigkeit, denn physikalisch bedeutet "raumartig getrennt", dass es ein Koordinatensystem gibt, in dem die Ereignisse gleichzeitig stattfinden. Aber was soll eine "imaginäre Eigenzeit" bedeuten? Ganz einfach: Die räumliche Entfernung der Ereignisse in diesem Koordinatensystem. Wir können (3.1) durch
(3.2) Δς = √{Δx² + Δy² + Δz² − (c∙Δt)²}
ersetzen, um diese Entfernung zu berechnen. Und das ist ja der Witz an der Sache: Die MINKOWSKI- Entfernung ist in jedem Koordinatensystem dieselbe, also sind Ereignisse, die in einem Koordinatensystem raumartig getrennt sind, in jedem Koordinatensystem raumartig getrennt. Das macht Überlichtgeschwindigkeit physikalisch unmöglich.