Kann man einzelne Funktionen aneinander Puzzeln um eine Ganzrationale Funktion, die alle Vorraussetzungen erfüllt zu erstellen?
Ich suche nach Funktionen, die man frei aneinander reihen kann, die jeweils eine Bedingung erfüllen. Z.B
f(x) = Teil für P1(x,y) + Teil für HP bei (x,y) + Teil für TP bei (x,y) + usw…
2 Antworten
Also theoretisch, schon. Was man machen kann ist eine Funktion auf bestimmte Intervalle zu definieren, die deine Eigenschaften erfüllen. Die Frage die bleibt ist, ob Stetigkeit dann noch erfüllt ist, an den Übergangen. Dann musst noch Ranbedingungen stellen. Also zum Beispiel das ganz linke. Nehmen wir an du hast so eine Funktion gefunden, die einen Hochpunkt an dieser Stelle hat. Die Funktion definieren wir dann: f(x) an der Stelle von [-a;-b]. Jetzt hast du eine zweite Funktion gefunden, die du für den Hochpunkt danneben beschreiben kannst. Diese bennen wir g(x) an der Stelle von [-b:-c]. Damit Stetigkeit erfüllt ist, muss dann gelten f'(-b)=g'(-b). Damit die Funktionen ineinander übergehen. Also warum ich Stetigkeit vorraaussetze: Deine Skizze verfolgt ja einen ,,schönen" Übergang zwischen den Funktionen. Natürlich muss das nicht erfüllt sein, für eine Funktion, zum Beispiel Treppenfunktion. Dann hättest du aber immer Knicke, zwischen den Funktionen.Aber sowie du es gezeichnet hast, muss du dann auch Stetigkeit vorraussetzen.
Das ganze machst du dann immer so weiter bist du alles abgearbeitet hast.
Ein ganz abstraktes Modell ist die Heaviside Funktion, damit du dir vorstellen kannst wie man das notiert. Die sagt einfach, dass sie überall wo x<0 0 ist und überall wo x größer gleich 0 ist, 1 ist. Das notiert man dann so:
Sie muss überall an den Stellen, wo du anfängst eine neue Funktion zu definieren stetig sein. N-fach jetzt nicht, du definierst ja nicht n-funktionen.
Ich habe die Frage des Fragestellers so gelesen das die Funktion über das gesamte betrachtete Intervall ganzrational sein soll. Das geht nur bei n-facher Stetigkeit an den Stoßstellen, wegen der Eindeutigkeit der Polynomdarstellung. Andernfalls hätte man höchstens einen Set von Splines über das Intervall.
Ich hab grade deine Nachricht verstanden hahaha ja. Für eine ganzrationale Funktion, muss das natürlich gelten. Ich habe die Frage etwas anders verstanden, aber in der Form in der es der Fragesteller verlangt, also f(x) = Teil für P1(x,y) + Teil für HP bei (x,y) + Teil für TP bei (x,y) + usw…. scheint es unmöglich. Die einzige Variante wäre halt die Funktion auf einzelne Bereiche zu definieren..
Wenn du die Funktionen mit den Eigenschaften aneinander summierst, veränderst du damit auch die Funktion an sich, und die Eigenschaften am, Ende. Zum Beispiel du hast ne Parabel f(x)=x^2, die hat an der Stelle (0,0) ein Extremum. Jetzt, hast du f(x)=(x-2)^3. Die hat einen Sattelpunkt bei x=2.
Wenn du jetzt die Funktion anhand ihrer Eigenschaften addieren würdest, hättest du g(x)=x^2+(x-2)^3. Die sieht dann anders aus. Die hat dann nur einen Sattelpunkt.
So einfach geht das nicht. Zunächst ist eine ganzrationale Funktion ja schon eine Summe von einzelnen Funktionen, nämlich der Funktionen a_i*x^i, wobei i von 0 bis zu n, dem Grad der Funktion, läuft. Dann mußt du dir klar machen, dass die einzelnen Bedingungsgleichungen über Produkte von elementaren Funktionen (im Reellen in der Form x + x_i und x^2 + b_i; wobei x_i die Nullstellen der Funktion und b_i > 0), in die die Funktion oder deren Ableitungen zerfällt dar gestellt werden. Nur mit Summationen ist also dein Wunsch nicht zu lösen.
Wenn "das ganze" dann eine ganzrationale Funktion sein soll muß der Übergang n-fach stetig sein, damit ist die "Stückelung" wieder nicht elementar.