Ist die Reihe trivial?
Falls (a_n) eine Folge in {-1,0,1} ist und
Σ (n ≥ 1) a_n / 3^n = 0 ist, ist dann a_n = 0 für alle n?
2 Antworten
Mit der Antwort von LUKEars samt Kommentar von J0T4T4 ist eigentlich alles gesagt, hier nur eine etwas formalere Notierung.
Angenommen, es gäbe eine Folge (a_n) mit Elementen aus {-1,0,1}, wovon nicht alle gleich Null sind, und die genannte Summe Σ (n ≥ 1) a_n / 3^n wäre gleich Null.
Dann gibt es eine kleinste natürliche Zahl N, so dass a_N ungleich Null ist. Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass a_N = 1. Dann ist Σ (N ≥ n ≥ 1) a_n / 3^n = (1/3)^N.
Die restliche Summe ab N+1 kann man abschätzen:
| Σ (n ≥ N+1) a_n / 3^n | <= Σ ( n ≥ N+1) (1/3)^n = (1/3)^(N+1) * 1/(1-1/3) = (1/3)^N / 2
Beide Summenteile zusammen können daher nie Null ergeben, ein Widerspruch.
also... nehmen wir einmal an, dass o. B. d. A. a_1=1 ist... können wir das (also +1/3) dann jemals wieder zu Null kriegen? und WA sagt nein, weil:
dazu überführt WA die Reihe erst einmal in die Partialsumme und erhält eine nettere Form...
den Grenzwert für k gegen unendlich sieht man ja sofort...
aber wie die nettere Form erreicht, verstehe ich nich... gibt es da vllt eine Formel für? in einer Formelsammlung? in eurem Lehrbuch? Heuser? oder so?
Es handelt sich um eine leicht abgewandelte Form der geometrischen Reihe mit q = 1/3, also ja, dafür gibt es eine Formel.
Der Grenzwert ist 1/(1 - q) von n = 0, also 3/2. Davon müssen dann noch die Werte für n = 0, 1 abgezogen werden, also 3/2 - 2/2 - 1/3 = 1/6, mit dem Minus davor -1/6.
Ergibt auch anschaulich Sinn, bei der bekannteren geometrischen Reihe mit q = 1/2 ist ja der Grenzwert der Reihe von n+1 immer der Wert der Folge a_n. 1/3ⁿ ist offensichtlich kleiner als 1/2ⁿ, also muss da auch die restliche Reihe immer kleiner sein.