Ist die Ableitung von da/dt gleich d^2a/dt^2?

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6 Antworten

Nein ist sie nicht. Der Operator d/dt beschreibt die erste Ableitung der Operator d^2/dt^2 beschreibt die 2. Ableitung

Nehmen wir als Beispiel die gleichförmig beschleunigte Bewegung (d.h. A ist konstant). Dafür gilt die Formel

s = 1/2  a  t^2

Dann ist die Geschwindigkeit 

v = ds/dt = d/dt  ( 1/2 a t^2) = 1/2 a d/dt (t^2) = 1/2 a 2t = a t

Und die Beschleunigung

a = d^2 s/dt^2 = dv/dt = d/dt (a t) = a d/dt (t) = a 1 = a

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Eher nicht. 

In dem Zusammenhang sieht a wie eine Konstante aus.
Es gilt d(at)/dt = a
Bei da/dt ist ein Zusammenhang von a und t nicht erkennbar, daher
da/dt = 1
wenn es weiter keine Informationen gibt.

Die Differentialschreibweise einer zweiten Ableitung wäre auch anders, z.B. bei x²:

dx²/dx  = 2x         1. Ableitung      d(ax²)/dx   = 2ax
d²x/dx² = 2           2. Ableitung     d²(ax²)/dx² = 2a

Auch hier wäre a eine Konstante.
Wenn man Ableitungen in einer Zeile schreiben möchte, muss man sich an einige Konventionen halten.
Und auch hier:
lieber ein Paar Klammern mehr als zu wenig.

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Kommentar von SlowPhil
10.08.2016, 14:35

Natürlich könnte a eine Konstante sein, da BatmanZer nicht ausdrücklich a(t) geschrieben hat, und nur dann gälte

d(a·t)/dt = a·dt/dt = a.

Bei da/dt ist ein Zusammenhang von a und t nicht erkennbar, daher

da/dt = 1

Da liegst Du wirklich falsch. Wenn a wirklich konstant wäre, dann wäre

da/dt = 0.

Und dies gilt auch nicht, wenn es keine weiteren Informationen gibt - dann muss man da/dt stehen lassen, weil man ja nicht weiß, ob da doch noch etwas von 0 verschiedenes steht  - sondern wenn es die Information gibt, dass a definitiv konstant ist.

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Ja. Du kannst Dir das klar machen, indem Du

(1.1) (d/dt)

als Operator betrachtest, der alles, was rechts von ihm steht, nach t differenziert, also

(1.2) da/dt = (d/dt)·a = ȧ.

Somit ist

(2) d²a/dt² = (d²/dt²)·a = (d/dt)·(d/dt)·a = (d/dt)(da/dt) = dȧ/dt= ä.

Das »d« ist in diesem Zusammenhang ebenfalls ein Operator und darf auf keinen Fall wie eine ganz gewöhnliche Zahl behandelt werden.

Das »d« allein gehört insbesondere nicht in einen Nenner oder unter eine Wurzel, weil das keinen Sinn ergibt.

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Dies war eine der großen Schwierigkeiten bei der Suche nach einer Lorentz-invarianten »Wellen«-Gleichung 1. Ordnung auf der Suche nach der Formulierung einer Quantentheorie, die mit der Speziellen Relativitätstheorie kompatibel ist. Das Problem wurde 1928 von Paul Dirac gelöst, indem er das »Operator unter Wurzel«- Problem geschickt umging.

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Kommentar von einfachsoe
10.08.2016, 18:13

Zu deinem Absatz: Kennst du gute Quellen um sich da einzulesen? Dieses Problem sagt mir als Physikstudent nichts, was mir etwas peinlich ist 😅

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Kommentar von einfachsoe
10.08.2016, 22:59

Wow, danke. Lese mir auf jeden Fall noch was dazu in Wikipedia durch

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Genau:

da/dt = 1. Ableitung von a(t) nach t

d^2 a / d t^2 = d (da/dt) / dt = 2. Ableitung von a(t) nach t

Das ^2 nach dem d unter dem Bruchstrich lässt man weg...

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Kommentar von SlowPhil
10.08.2016, 14:39

da/dt=1

gilt nur dann, wenn a(t) = t + const. ist, also eine lineare Funktion mit der Steigung 1.

Außerdem ist mit »dt²« im Nenner auch nicht »d t²« in Sinne von »d·t²« gemeint, sondern (dt)², was nicht (!) zu d²t² aufzulösen ist, denn d ist keine Zahl, sondern bedeutet eine kleine (idealisierterweise infinitesimale) Differenz.

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da/dt = da/d * t = a*t

f´(x) = 1

Vertrau mir da nicht, war immer ne besonders düstere Leuchte in Mathe, aber habs eben auch im Ableitungsrechner eingegeben. Du leitest hier nen Faktor ab, nicht nach der Variablen x. Deswegen wird´s 1. Außer du leitest nach a bzw. t ab.

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Kommentar von Kaenguruh
10.08.2016, 13:49

Auch wenn Du vielleicht nie eine große Leuchte warst, hier kann man Dir vertrauen. Deine Antwort ist absolut richtig. Also, nicht so bescheiden! 

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Kommentar von SlowPhil
10.08.2016, 14:18

Nein, er leitet nach der Variablen t ab, was in der Physik meist die Zeit ist. Die Funktion ist a(t), und der Ausdruck

da/dt = da(t)/dt

steht für

lim_[Δt→0] Δa(t)/Δt,

den Grenzwert des Differenzenquotienten Δa(t)/Δt.

Wenn der existiert.

Dabei ist d keine Zahl, durch die man kürzen könnte, und selbst wenn dem so wäre, gehörte das t zum Nenner!

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Die Zeitliche Ableitung, ja.

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