Irrationalität von Wurzeln mit dezimalen Komponenten aus dezimaldarstellungsfreien Zahlen?
Warum sind alle Wurzeln, die aus einer dezimaldarstellungsfreien Zahl generiert werden und in ihrer mathematischen Repräsentation eine dezimale Komponente aufweisen, zwangsläufig als irrational zu klassifizieren?
Was ist eine dezimaldarstellungsfreie Zahl?
Meinst du ganze Zahlen und, dass deren Wurzeln entweder auch wieder ganz oder irrational sind?
Dezimaldarstellungsfreie Zahl=ganze Zahl und wie du es gesagt hast. Ganz oder irrational
Kannst du das verständlicher formulieren?
Nicht viel verständlicher. Dezimaldarstellungsfreie Zahlen = ganze Zahlen
Also auf Deutsch: Warum sind alle Wurzeln ganzer Zahlen mit einer Nachkommastelle irrational? Das stimmt offensichtlich nicht.
Ja so ist es. Doch, das stimmt
2 Antworten
Nur die Quadratwurzeln, die als Quotient aus geradzahlig vorhandenen Primfaktoren dargestellt werden können, sind rational.
Die Wurzel aus 36/49 ist rational, da Wurzel(2*2*3*3/(7*7))=2*3/7
Jede Quadratwurzel einer Zahl, für die das nicht gilt, muss irrational sein, denn jeder rationale gemeine Bruch ergibt quadriert eine gerade Anzahl gleicher Primfaktoren in Zähler und Nenner.
Auch jede periodische Dezimalzahl ist als gemeiner Bruch darstellbar.
Die Begriffe Dezimalzahl, dezimaldarstellungsfreien Zahl, Dezimalstelle, ganze Zahl mit Dezimalstelle usw. sind falsch bzw. von Dir falsch angewendet.
Eine ganze Zahl mit Dezimalstelle ist z.B. 4,0.
Zahlen sind übrigens unabhängig ihrer Darstellung rational oder irrational.
Du meinst wohl gebrochene Dezimalzahlen. Aber auch deren Wurzeln müssen nicht irrational sein, z.B. Wurzel(1,7 Periode 7)=4/3
Der Beweis geht wie der für das Beispiel der Irrationalität der Wurzel aus 2. Du ziehst die Wurzel aus einer natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, und nimmst an, sie sei rational. Das führst du zum Widerspruch wie folgt.
Sei Wurzel(n) = a/b mit natürlichen Zahlen n, a, b.
Dann ist n b^ = a^2.
Jetzt nutzt man die eindeutige (bis auf die Reihenfolge) Primfaktorzerlegung. Rechts stehen alle Primfaktoren mit gerader Potenz, links aber nicht, da n kein Quadrat ist.
*Beweis durch Wiederspruch: √2 ist irrational.*
Wenn √2 irrational ist, heißt das, dass sich √2 nicht als Bruch schreiben lässt. Für den Beweis nimmt man also das Gegenteil an und leitet hieraus einen Widerspruch her.
Annahme: √2 ist rational und lässt sich somit als Bruch schreiben. Dann gibt es positive Zahlen a und b, für die Folgendes gilt: √2=a/b.
Nun die Gleichung umformen und quadrieren: a=√2*b, a²=(√2*b)²=2*b²
*Behauptung:* Zerlegt man eine Quadratzahl in ihre Primfaktoren, so kommt der Faktor 2 in jeder Quadratzahl nur in gerader Anzahl 0, 2, 4, 6, 8, vor. Beispiele: 64=2*2*2*2*2*2=2⁶, also kommt der Faktor 2 sechs Mal vor; in 81 = 3⁴ kommt der Faktor 2 null Mal vor.
3 Beispiele: 36=2*2*3*3=2²*3²
49=7⁷
144=2*2*2*2*3*3=2⁴*3²
Auf der linken Seite steht die Quadratzahl a²: Der Faktor 2 kommt in ihr in gerader Zahl vor.
Auf der rechten Seite steht die Quadratzahl b²: Der Faktor 2 kommt in ihr in ungerader Anzahl vor.
Ein Widerspruch, dementsprechend sind die Wurzeln aus ganzen Zahlen, welche eine Dezimalstelle besitzen, nicht als Bruch notierbar und sind daher irrational
So haben wir es heute auch gelernt im Unterricht.