Betragsstriche bei Wurzeln?
Frage mich, wieso bei g) keine Betragsstriche gesetzt wurden, aber bei f).
2 Antworten
Weil die Gleichung [g] sowieso nur für positive Werte von x und y (im realen Zahlenraum) definiert ist. Der entscheidende Punkt ist, dass für beide in (mindestens) ein Therme eine ungerade Potenz unter einer Geraden Wurzel steht. Es reicht aus, einen Wert für x bzw. y zu finden, an dem die Rechenoperation nicht zulässig ist, um eine Einschränkung der Definitionsmengen notwendig zu machen
Setze x = -1 , dann wird aus dem zweiten Nenner bei [g] vierte Wurzel aus minus eins, was in R nicht definiert ist. Für y ist es der zweite Zähler der bei Y = -1 irreal wird. Deshalb gilt die Bedingung x, y > 0 von Anfang an und muss nicht im Laufe der Umstellungen ergänzt werden.
Die Gleichung [f] ist für den gesamten reellen Zahlenbereich definiert, denn x und y kommen nur in geraden Potenzen vor. erst nach den Umstellungen der Gleichung besteht die Möglichkeit, das eine negative Zahl 'Bestand' haben könnte, was in der Ausgangsgleichung ausgeschlossen ist. Deshalb muss die Lösung auf positive Werte eingeschränkt werden.
Edit: gauss56 hat mich mit seiner Antwort gerade wieder daran erinnert, dass es 'Definitionsmenge' heißt und meine 'unübliche Wortkonstruktion' flugs ausgetauscht :)
Bei g) gibt es ungerade Exponenten unter den Wurzeln, z.B. y⁵ und x³. Da aus negativen Zahlen in R keine Wurzel gezogen werden kann, muss x, y > 0 sein.
Bei f) sind wegen der geraden Exponenten, z.B. x⁴ und y², auch negative Werte möglich. Da die Wurzel in R nicht für negative Zahlen definiert ist, müssen hier Betragsstriche gesetzt werden.
Es gibt also Unterschiede in der Definitionsmenge.
fast richtig, das gilt nur für 'ungerade' Wurzeln, denn z.B. dritte Wurzel aus minus eins ist minus eins weil minus eins hoch drei ist minus eins