Wann Betragsstriche beim Wurzelziehen?
Hallo!
ich habe eine Frage:)
wann muss man beim Wurzelziehen betragsstriche setzen?
z.b. bei Wurzel(a hoch 3)= a
muss a dann in betragsstriche gesetzt werden? Oder wann werden betragsstriche gesetzt, wenn Wurzeln hoch eine Zahl genommen werden?
danke schonmal!
2 Antworten
Die Betragstriche kommen bei "geraden" Wurzeln hin, da die zugrunde liegende Gleichung in diesem Fall zwei Lösungen haben kann. Aus x²=4 folgt bspw. |x|=2.
Der Exponent, den man mit der Wurzel wegbekommen will. Hoch 2, hoch 4, etc.
Die Betragstriche sind erforderlich bei geradzahligen Wurzeln ²√, ⁴√, ⁶√, ⁸√,... wenn nur dadurch sichergestellt werden kann, dass das Ergebnis der Wurzel eindeutig und nichtnegativ ist.
Hintergrund:
Geradzahlige Wurzeln ²√, ⁴√, ⁶√, ⁸√,... sind grundsätzlich so definiert, dass sie nur EIN Ergebnis liefern, und das darf nicht negativ sein.
(Bei ungeraden Wurzeln ³√, ⁵√, ⁷√,... sind negative Ergebnisse möglich)
Bsp: √(x²) mit reellem x
Wenn man hier beim Wurzelziehen die Betragstriche weglassen würde und einfach nur schreiben würde:
√(x²) = x
dann ist das immer dann falsch, wenn x eine negative Zahl ist, denn dann würde die Wurzel ja ein negatives Ergebnis liefern.
Die korrekte Lösung dieser Wurzel für alle reellen x unterteilt sich in 2 Fälle, jenachdem ob x positiv oder negativ ist:
- Falls x≥0 dann gilt: √(x²) = x
- Falls x<0 dann gilt: √(x²) = -x
Diese beiden Fälle kann man zusammenfassen mit den Betragstrichen und deshalb ist in solchen Fällen das korrekte Wurzelziehen:
√(x²) = │x│ für alle reellen x.
Was meinst du mit geraden Wurzeln? Wenn die Basis gerade ist oder wenn der exponent gerade ist?