Integral bestimm 0 bis b?

Hallo, ich sitze gerade an meinen Mathehausaufgaben und bin am verzweifeln…

letzte Stunde haben wir das Intervall 0 bis b in streifenbreiten unterteilt und berechnet, wieviele Streifen wir dafür benötigen. In den folgenden zwei Bildern seht ihr, wie wir das berechnet haben. Bis dahin habe ich sogar alles gut verstanden.

In dem Fall ist es ja so, dass Der graph die linke Kante der Rechtecken immer berührt (Abbildung). Also Hausaufgabe sollen wir ebenfalls die anzahlender streifenbreiten berechnen, aber dieses Mal soll der Graph die rechte Seite von den Rechtecken berühren. es muss also auch b^3/3 rauskommen. Als Hilfe hat unser Lehrer und folgende Gleichung gegeben, aber die hilft mir ehrlichgesagt auch nicht wirklich weiter…. n(n+1) (2n+1)/6

wenn ihr mir helfen könntet und mir einen Tipp geben könnt, bin ich euch unnormal dankbar!!!!

Answer 1

[MichaelH77]

dieses mal wird die Fläche durch die Obersumme angenähert. Die Höhe der Balken ist dann im Vergleich zur Untersumme um einen Balken "verschoben"

auch hier ist die gleiche Breite der Rechteckstreifen wieder (b-0)/n = b/n

Fläche eines Rechtecks = Breite * Höhe, die Breite ist konstant b/n, die Höhe ist von f abhängig

klammert man die Breite aus, dann erhält man für die Gesamtfläche der Rechtecke:
$\frac{b}{n}\left(f\left(1\cdot\frac{b}{n}\right)+f\left(2\cdot\frac{b}{n}\right)+...+f\left(n\cdot\frac{b}{n}\right)\right)$

nun berechnet man die Funktionswerte durch einsetzen in f(x):
$\frac{b}{n}\left(1^2\cdot\frac{b^2}{n^2}+2^2\cdot\frac{b^2}{n^2}+...+n^2\cdot\frac{b^2}{n^2}\right)$

b²/n² wird ausgeklammert und mit b/n multipliziert:
$\frac{b^3}{n^3}\left(1^2+2^2+...+n^2\right)$

den Ausdruck in der Klammer kann man durch die gegebene Formel ersetzen:
$\frac{b^3}{n^3}\cdot\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$

Zähler ausmultiplizieren:
$\frac{b^3}{n^3}\cdot\frac{2n^3+3n^2+n}{6}$

umformen:

$\frac{b^3}{6}\cdot\frac{2n^3+3n^2+n}{n^3}$ bei unendlich vielen Rechteckstreifen geht n-> oo und der rechte Bruch gegen 2n³ /n³ = 2

die Gesamtfläche geht dann für n -> oo gegen (b³/6)*2 = b³/3

die Fläche der oberen Rechteckstreifen nähert sich also gegen den gleichen Wert wie die Fläche der unteren Rechteckstreifen

am besten auch folgendes Video zum Thema anschauen: https://www.youtube.com/watch?v=2bW8Zr7oTlY

Comments

[Eulea135]

Dankeschön, das hat mir sehr geholfen! Eine kurze Frage habe ich noch, wie kommen Sie von b^3/n^3 *2n^3+3n^2+n/6 zu b^3/6*2n^3+3n^2+n/n^3? Also warum muss man da den Nenner tauschen?

[MichaelH77]

@Eulea135

man muss die Nenner nicht unbedingt tauschen. Ich habe das gemacht, damit man rechts einen gebrochenrationalen Term hat, bei dem der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist. Wenn man gebrochenrationale Funktionen kennt, dann weiß man, dass so eine Funktion eine waagrechte Asymptote für unendliche Werte hat. In diesem Fall wäre y=2 die waagrechte Asymptote. Dieser Grenzwert muss aber noch mit dem linken Bruch multipliziert werden