Injektivität beweisen und f(IR) berechnen?
Gegeben habe ich f(x)= x- sin(x) + exp(x).
a) Zuerst soll ich zeigen, dass f injektiv ist. Das Problem hierbei ist, dass ich beim Auflösen von f(x)=f(y) => x=y scheitere und auch kein online-Rechner kann mir dabei helfen...
b) Dann soll ich f(IR) berechnen. Was ist damit gemeint?
c) Berechnen sie (f inv)' (1)
Da habe ich folgendes überlegt:
f inv (x)= x- arcsin(x) +ln(x)
(f inv)' (x)= 1- (1/(sqrt(1-x^2))+1/x
(f inv)' (1)= 0
Das kommt mir aber auch falsch vor...
1 Antwort
a) Zeige das f streng monoton ist, also das f'(x) > 0 für alle x in R. Verwende dazu das |cos(x)| <= 1 für alle x in R und e^x > 0.
b) Damit ist der komplette Wertebereich der Funktion gemeint (Hinweis: erist ganz R. Warum?).
c) Wie kommst du auf f inv (x)= x- arcsin(x) +ln(x)? Seit wann ist die Bildung einer Umkehrfunktion eine lineare Operation? Das ist völliger Unfug. In der Vorlesung solltest du die
https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel
gelernt haben.