Ich soll in Mathematik den Flächeninhalt dieser Kreisfigur (Herz) berechnen, aber ich finde nirgends etwas dazu wie man das macht, könnt ihr mir bitte helfen?
3 Antworten
Hallo,
ziehe zwei Hilfslinien:
Die erste von dem Punkt aus, an dem die beiden kleinen Halbkreise zusammentreffen, senkrecht nach unten.
Die zweite vom linken Schnittpunkt zwischen Herz und waagerechter Linie schräg nach rechts unten zur unteren Spitze des Herzens.
Nenne den Punkt links A, den Mittelpunkt der waagerechten Linie B und den Punkt unten an der Spitze des Herzens C.
Den Punkt am echten Ende der waagerechten Linie nennst Du A'.
Wenn Du den mit Punkt C verbindest, bekommst Du das gleichseitige Dreieck AA'C mit einer Seitenlänge von 2a.
Die waagerechte Linie hat eine Länge von 2a, ebenfalls hat die Verbindung AC eine Länge von 2a.
Der Radius der beiden Halbkreise ist jeweils a/2.
Die Halbkreise ergeben somit zusammen eine Fläche von Pi*a²/4.
Die Punkte ABC ergeben ein rechtwinkliges Dreieck, wobei AB und BC die Katheten und AC die Hypotenuse ist.
Der Winkel BAC hat 60°, denn AB=a und AC=2a, somit cos (BAC)=a/(2a)=0,5.
Das Kreissegment auf der rechten Seite ist also ein Sechstel eines Kreises mit dem Radius 2a, hat also eine Fläche von Pi*4a²/6
Übrig bleibt noch die Kappe auf der linken Seite. Sie hat die Fläche wie das Kreissegment, vermindert um das gleichseitige Dreieck AA'C.
Dieses hat die eine Fläche von a*Höhe. Die Höhe wiederum ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras, nämlich die Wurzel aus (4a²-a²), also a*Wurzel (3).
Die Fläche dieses Dreiecks berechnet sich bekanntlich nach der Formel halbe Grundseite mal Höhe, also a*a*Wurzel (3)=a²*Wurzel (3)
Insgesamt kommst Du auf Pi*a² /4(die beiden Halbkreise)+2*Pi*4a²/6 (zwei Kreissegmente)-a²*Wurzel (3)(Flächeninhalt des Dreiecks AA'C)=(19/6)Pi*a²-a²*Wurzel (3)
Herzliche Grüße,
Willy
Es sind (1/4)Pia²+(4/3)Pia²=(19/12)Pia², hatte mich vertan.
Davon ziehst Du, wie gesagt, a²*Wurzel (3) ab.
aber eins verstehe ich noch nicht. Warum ist das dann entstehende Dreieck gleichseitig? Wenn ich die Hilfslinien einzeichne, ist die obere Seite länger als die beiden unteren.
i ist 8 cm, j und k jeweils 6,92
da das Dreieck nicht gleichseitig ist, muss ich es anders berechnen, aber wie?
Es ist gleichseitig, weil die beiden unteren Begrenzungslinien des Herzens Ausschnitte aus Kreisen sind mit Radius 2a und den Mittelpunkten am rechten Schnittpunkt der waagerechten Linie mit dem Umriß der Figur bzw. dem linken Schnittpunkt.
Ich habe die Figur entsprechend konstruiert - und sie sah genauso aus wie auf Deiner Abbildung.
Probier es selbst aus.
Zeichne zunächst die waagerechte Linie c (AB) mit Länge 2a. Bestimme den Mittelpunkt.
Zeichne jeweils Halbkreise mit Radius a/2, so daß ihre Mittelpunkte jeweils zwischen dem Mittelpunkt von c und dem Anfangs- bzw. Endpunkt von c liegen.
Schlage um A (Anfangspunkt von c) einen Kreis mit Radius 2a und um B (Endpunkt von c) einen Kreis mit Radius 2a.
Der untere Schnittpunkt der beiden Kreise stellt die untere Spitze des Herzens dar.
Die Dreiecksseiten sind einmal Linie c mit Länge 2a und zwei Kreisradien mit Länge 2a. Du hast es also mit einem gleichseitigen Dreieck zu tun.
Anders ist die Aufgabe mit diesen wenigen Angaben auch gar nicht lösbar.
Willy
Diese Information hast Du in Deiner Frage nicht gegeben, sondern nur eine grob gezeichnete Skizze hochgeladen, aus der man alles Mögliche herauslesen konnte.
Du kannst doch nicht einen wichtigen Teil der Aufgabe für Dich behalten und hoffen, daß man sich den Rest schon irgendwie zusammenreimt.
Mit diesen Informationen sieht die Sache natürlich anders aus.
Die Benennung der einzelnen Teile ist willkürlich, man muß sich nur darauf einigen, was womit gemeint ist.
aber da du das nun weisst, weisst du auch, wie man das dann berechnet?
Ja sicher.
Im Grunde so, wie ich bereits schrieb.
Die beiden Halbkreise nach der Formel Pi*a²/4, daran hat sich nichts geändert. Da a=4, kommst Du hier auf eine Fläche von 4*Pi.
Die unteren Teile des Herzens sind Kreisausschnitte, deren Mittelpunkte nun nicht die Endpunkte der waagerechten Linie, also der x-chse zwischen -4 und 4 sind, sondern irgendwo auf dieser Achse liegen, und zwar auf dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ihrer Sehnen CE bzw. BE und der x-Achse.
Wegen der Symmetrie genügt es, einen Schnittpunkt zu berechnen, der andere hat dann den negativen x-Wert des anderen, der y-Wert ist ohnehin Null, weil beide Mittelpunkte auf der x-Achse liegen.
Nimm die Sehne CE. Der Mittelpunkt dieser Sehne liegt bei (-2|-3).
Die Mittelsenkrechte durch diesen Punkt hat die Steigung (2/3), denn CE hat die Steigung (6/-4)=-3/2, denn die Endpunkte von CE lauten
(-4|0) und (0|-6) und damit die Steigung den Wert (-6-0)/(0-(-4))=-6/4=-3/2. eine Senkrechte hat den negativen Kehrwert dieser Steigung, also 2/3.
y=(2/3)x+b
Punkt (-2|-3) einsetzen und b berechnen:
-4/3+b=-3
b=-5/3
y=(2/3)x-5/3 ist die Gleichung der Mittelsenkrechten.
Die x-Achse hat die Gleichung y=0
Der Mittelpunkt des einen Kreises liegt also bei der x-Stelle, die die Gleichung (2/3)x-5/3=0 erfüllt, also bei x=5/2.
Der Mittelpunkt des linken Kreises liegt also bei (2,5|0), der des rechten entsprechend bei (-2,5|0).
Der Radius ist r=6,5, denn er geht von -4 auf der x-Achse bis 2,5.
Nenne den Kreismittelpunkt M und bestimme den Winkel CME mit Hilfe des Kosinussatzes:
Dazu brauchst Du noch die Länge der Strecke CE (Pythagoras: Wurzel aus (-4)²+(-6)²=Wurzel aus 52, die Längen der beiden Schenkel sind gleich dem Radius, also 6,5, und es gilt:
52=2*6,5²-2*6,5²*cos (Phi)=2*6,5²*(1-cos (phi))
1-cos (phi)=52/(2*6,5²)
cos (phi)=1-[52/(2*6,5²)]=0,3846153846 und damit Phi=67,38°
Nun kannst Du jeweils einen Kreissektor über Pi*6,5²*67,38/360 berechnen. Du verdoppelst die Fläche und ziehst davon die Fläche des Dreiecks ab: Fläche Dreieck=4*6=24 (halbe Grundfläche mal Höhe).
Zusammen mit den beiden Halbkreisen hast Du dann die Gesamtfläche.
Willy
http://flockdraw.com/gallery/view/2329129
kreis oben mit r=a berechnen
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kreissektor ABC mit Bogen D (alpha=60° und r=4a) berechnen;
davon dann Dreieck (gleichseitig mit s=4a) abziehen,
dann hast du den Kreisabschnitt A C D
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Dreieck ABC + 2 Kreisabschnitte = unterer Teil vom Herz
Dein Herz setzt sich doch zusammen aus 2 Halbkreisen und einem Kreissegment.
Doch. Schneid die Halbkreise weg und halbiere den Rest vertikal, setze dann das linke Stück gedreht oben ans rechte Stück, zack feddich Kreissegment.
Vielen Dank für den Stern.
Willy