Hängt die Geschwindigkeit beim rollen einer Kugel / eines Zylinders nicht vom Radius ab?
In der Aufgabe rollt eine Kugel eine schiefe Ebene hinab, und man soll die Endgeschwindgkeit bestimmen. Mein Ansatz siehe Bild. In der darauffolgenden Teilaufgabe heißt es dann, welchen Radius müsste ein Vollzylinder haben, damit er die gleiche Geschwindigkeit erreicht. Nun ist das Trägheitsmoment eines Vollzylinders 0.5 * m * r^2 . Dadurch kürzt sich in der Gleichung aber wieder der Radius heraus. Was mache ich falsch oder hängt die Geschwindigkeit nicht vom Radius hab?
2 Antworten
Ja das stimmt im Prinzip schon. Wenn du einen größeren Zylinder mit gleicher Masse rollen lässt, so ist es ja schon sinnvoll, dass die darin gespeicherte Energie gleich bleibt, wenn die Geschwindigkeit auch gleich bleibt, da die gleiche Masse zu gleichen Teilen bewegt wird. Nur die Winkelgeschwindigkeit nimmt ab, da sich der Zylinder "weniger schnell drehen muss", um dieselbe Translationsgeschwindigkeit zu erreichen. Das kannst du dir auch so vorstellen: Vor dem Ablauf ist die einzige Energie die potentielle Energie. Diese ist ja sowieso nur von der Masse und der Höhe abhängig, nicht vom Radius. Diese Energie muss nachher auch wieder vorhanden sein (also nicht vom Radius abhängen). Da die Rotationsenergie rein mathematisch nicht vom Radius abhängt, kann es die kinetische auch nicht. Demnach ist die komplette Rechnung unabhängig vom Radius des Zylinders.
Eventuell ist in der Aufgabe "die gleiche Winkelgeschwindigkeit" gemeint? Das wäre dann eine schnelle Rechnung.
Du gehst aber in deinem Argument davon aus, dass die Masse gleich bleibt. Wenn der Zylinder beispielsweise aus dem gleichen Material wie die Kugel bestehen soll, ist die Masse sehr wohl von dem Radius abhängig, welches dann wiederum einen Einfluss auf die Rotationsenergie (und die translatorische Energie) hat. Die Masse wäre ja dann
wobei du dann aber die Dichte von dem Material und die Länge des Zylinders brauchst, welche evtl. nicht gegeben sind.
Andernfalls ergibt die Fragestellung aber auch einfach wenig Sinn, denn wenn die Masse auch gleich bleibt, hast du gar keine freien Parameter mehr. Die Endgeschwindigkeit würde also nur von der Starthöhe auf der schiefen Ebene und der gewählten Form abhängen. Demnach wäre es nur möglich die gleiche Endgeschwindigkeit mit einem Vollzylinder zu erreichen, indem man ihn aus einer tieferen Höhe starten lässt.
LG H.
