Gibt es eine generelle Formel für Tangentengleichung an einem beliebigen Punkt?
Aufgabenstellung: Geben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der natürliche Logarithmusfunktion f(x)=Inx an, die von A(0I2) aus an den Graphen von f gelegt wird.
Hat jemand eine Formel dafür oder eine schöne Erklärung?
Freue mich über jede Antwort danke!
5 Antworten
Allgemein: Tangengengleichung eines Funktionsgraphen im Punkt (x0|f(x0)):
t(x) = f(x0) + f'(x0) * (x-x0)
Der gegebene Punkt A(0|2) soll auf dieser Tangente liegen, also dessen Koordinaten x_A und y_A in die Tangentengleichung einsetzen und nach x0 auflösen.
Du kannst die obige Formel nutzen. Es kommt dasselbe heraus als wenn du m und t einzeln ausrechnest.
Das kannst du natürlich auch machen:
T(x) = f'(x0) * (x-x0) + f(x0)
= f'(x0) * x - f'(x0) * x0 + f(x0)
= f'(x0) * x + (f(x0) - f'(x0) * x0)
= m * x + t
mit m = f'(x0) und t = f(x0) - f'(x0) * x0
Tangente durch den Punkt P(p1|p2) an einen Funktionsgraphen f im Punkt Q(x|f(x)):
x bekommt man durch die Gleichung
(f(x) - p2) / (x - p1) = f'(x) -----> x = ...
dann ist die Steigung der Tangente f'(x) und die Gleichung der Tangente:
t(d) = f'(x) * d + t
t = p2 - f'(x) * p1
t(d) = f'(x) * d + (p2 - f'(x) * p1)
Musst nur im Mathe-Formelbuch im Kapitel "Differentialgeometrie" nachschauen.
Tangentengleichung : yt=ft(x)= f´xo) * (x -xo)+f(xo)
ft t steht für "Tangente" und f(xo) ist der Funktionswert an der Stelle xo,wo die Tangente liegen soll
f´(xo) ist die erste Ableitung von f(x) mit xo eingesetzt
Normalengleichung : yn=fn(x)= - 1/f´(xo) * (x -xo)+ f(xo)
HINweis: Die Tangente oder die Normale ist eine Gerade der Form
y=f(x)= m *x +b hier ist m die Steigung
m=f´(xo) Tangentensteigung an der Stelle xo
m= - 1/f´(xo) Normalensteigung an der Stelle xo
Hast du kein Mathe-Formelbuch,dann kannst du dir privat ein´s in jeden Buchladen kaufen,wie den "Kuchling" etc.
Für 30 Euro bekommt man so 600 Seiten mit Formeln,Zeichnungen und kleinen Rechenbeispielen.
die Tangentengleichung entspricht der Punkt-Steigungsformel.
Dabei wird vorausgesetzt, dass du die Steigung m bzw. erste Ableitung an der gewünschten Stelle kennst
Tangentengleichung durch Punkt (x1/y1):
T(x) = m(x-x1)+y1
Die Formel sollte in deiner Formelsammlung stehen (falls du eine besitzt).
Welcher teil dieser Formel steht für T? Die eigentliche Formel ist ja y=mx+t ich bin jetzt so weit das ich xo herausfinde. Aber wie komm ich dann auf das t? Kann ich das mit der oberen Formel herausfinden oder muss ich die Gleichung y=mx+t nutzen?
Danke für deine Antwort!