Gibt es eine Funktion die 3 Hochpunkte und nur einen Tiefpunkt hat?
Ich probier es schon ziemlich lange aber ich bekomm es einfach nicht hin...Ich brauche eure Hilfe.
Danke schonmal.
4 Antworten
Das lässt sich gedanklich schnell konstruieren. Nimm ein Polynom dritten Grades und definiere, dass die Funktion in einem Tiefpunkt nicht definiert ist, sodass du eine bis auf diesen Punkt identische Funktion hast.
Oder noch simpler: Definiere eine Funktion, die nur aus 4 Punkten besteht, zum Beispiel f:{1, 2, 3, 4} → {1, 0} mit f(1) = f(2) = f(3) = 1 und f(4) = 0
Wäre nicht auch ein Gebirge denkbar, mit drei Bergen, zwischen denen ein Tal liegt?
Zwischen zwei Gipfeln muß eigentlich immer eine Art Tal liegen, sonst wären sie nicht als Gipfel erkennbar. Von einem Gipfel geht es nach allen Richtungen nur abwärts, vom Nachbargipfel auch.Irgendwo zwischen ihnen muß es einen Punkt geben, von dem aus es wieder aufwärts geht, sonst kämst Du nicht von einem Gipfel zum nächsten. Dieser Punkt ist ein Tiefpunkt. So einer muß immer zwischen zwei Hochpunkten liegen, sonst könntest Du den einen Hochpunkt nicht vom anderen trennen.
Du kannst also höchstens ein Hochplateau durch eine Bretterwand in zwei Hälften teilen und die eine Hälfte Gipfel A, die andere Gipfel B nennen. Die Bretterwand wäre beim Funktionsgraphen die Definitionslücke. Du würdest den Hochpunkt des rechten Funktionsgraphen an den des linken Funktionsgraphen anschließen und dazwischen die Definitionslücke lassen. Dann hättest Du zwei benachbarte Hochpunkte ohne einen Tiefpunkt dazwischen.
Aussehen würden die beiden allerdings wie ein einziger Hochpunkt, weil die Lücke zwischen ihnen unendlich klein wäre.
Irgendwo zwischen ihnen muß es einen Punkt geben, von dem aus es wieder aufwärts geht, sonst kämst Du nicht von einem Gipfel zum nächsten. Dieser Punkt ist ein Tiefpunkt.
Sicher, weil wenn das Tal Richtung Berg 3 noch niedriger liegt, dann gibt es in jeder Umgebung um den "Tiefpunkt(kandidaten)" zwischen den zwei Bergen einen noch tieferen Punkt?
Der Tiefpunkt eines Funktionsgraphen ist entweder die tiefste Stelle zwischen zwei benachbarten Hochpunkten oder die tiefste Stelle eines bestimmten Intervalls, wenn eine Funktion nur stückweise definiert oder nicht stetig ist oder wenn der Definitionsbereich aus anderen Gründen eingeschränkt wurde.
Es kann natürlich von einem Hochpunkt aus zu einem Sattelpunkt gehen, an dem die Steigung und damit die erste Ableitung auch Null ist, danach geht es dann aber nicht wieder aufwärts, sondern weiter abwärts zum nächsten Minimum.
Wenn Du eine stetige Funktion hast, muß zwischen zwei benachbarten Hochpunkten aber unbedingt ein Tiefpunkt liegen, anders geht es nicht.
Eine stetige Funktion mit drei Hochpunkten und nur einem Tiefpunkt kann es daher nicht geben.
Mach Dir das an der Ableitung klar: Von einem Hochpunkt aus geht es nur abwärts, Steigung negativ. Zum nächsten Hochpunkt geht es wieder aufwärts, Steigung positiv.
Zwischen negativer und positiver Steigung muß aber die x-Achse geschnitten werden. Du hast zwangsläufig einen Nullpunkt der ersten Ableitung mit Vorzeichenwechsel. Da die Ableitung von negativ zu positiv wechselt, also ihrerseits eine positive Steigung besitzt, handelt es sich um ein Minimum.
Drei Hochpunkte und nur ein Tiefpunkt geht nur mit Lücken dazwischen.
Mach Dir das an der Ableitung klar: Von einem Hochpunkt aus geht es nur abwärts, Steigung negativ. Zum nächsten Hochpunkt geht es wieder aufwärts, Steigung positiv.
Versuche ich ja.
Bezogen auf das Beispiel mit den drei Bergen geht es nur in Richtung der beiden Berggipfel vom Tiefpunkt dazwischen Bergauf. Von diesem Punkt auf dem "Kamm" kann es aber im Dreidimensionalen in eine quer zum Kamm bergab gehen.
Die Steigung ist dann nur in Richtung der beiden Berggipfel positiv. Ein richtiger Tiefpunkt wäre die tiefste Stelle im Tal. Egal in welche Richtung man sich bewegt, man hat es immer mit einer Steigung zutun.
Als normale Schulfunktion nicht :
Schau diese Funktion mit drei Hochpunkten:
der linke Hochpunkt liegt in einer "Rechtskurve" . Um zum nächsten Hochpunkt zu kommen , muß die Funktion die "Kurve" kriegen und durch einen Tiefpunkt .
Will man 3 HPs und nur 1 TP kann es nicht funktionieren , weil eben ein TP fehlt .
Man kann aber ein Bild , daß aussieht wie eine einzige ! Funktion(svorschrift) konstruieren, indem man bereichsweise z.b von -unendlich bis -5 , >-5 bis 10 usw jeweils 3 Funktionen mit einem HP und 1 Fkt mit einem TP legt .
Sieht aber nur so aus und ist eben nur zusammengebastelt . Es sind 4 Fkt nötig.
Tausende,
aber immer nur mit irgendwelchen Nebenbedingungen.
Eine gewöhnliche Potenzfunktion zeigt kein solches Verhalten,
denn es geht immer nur rauf oder runter.
Entweder ist ein Hochpunkt dabei über -
oder ein Tiefpunkt.
Wie in der Natur.
Das gibt es nicht
Oder Du nimmst ein Polynom vierten Grades mit zwei Hochpunkten und einem Tiefpunkt und schränkst die Definitionsmenge ab einem bestimmten x ein. Von da an übernimmt dann eine nach unten offene Parabel, deren Definitionsmenge erst beim Scheitelpunkt (Maximum) beginnt und die dann ins negativ Unendliche abrauscht.
Obwohl man den Grenzwert dann auch als Tiefpunkt bezeichnen könnte.
Also die Definitionsmenge beim zweiten Hochpunkt enden lassen.