Geometrische Deutung der Lorentzkontraktion und der Zeitdilatation mittels Minkowski-Diagramm?
Könnte mir jemand erklären wie ich die Lorentzkontraktion und die Zeitdilatation der Relativitätstheorie, im Minkowski Diagramm geometrisch deuten kann ? Ich blicke leider beim Minkowski Diagramm noch nicht ganz durch.
Vielen Dank im Voraus (:
1 Antwort
Hallo nn5274,
die Wörter "Zeitdilatation" und "Längenkontraktion" sind irreführend. Beides sind eigentlich Nebeneffekte der Relativität der Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse.
Im Diagramm selbst siehst Du das daran, dass die x'-Achse des Koordinatensystems Σ' (blau) gegen die x-Achse des Koordinatensystems Σ (gelb) geneigt ist. Entlang der x-Achse ist t=0, entlang der x'-Achse ist t'=0.
-- Baustelle --
Wenn wir eine Salami der Länge L neben ein Lineal legen, haben ihre Enden natürlich die Koordinatendifferenzen (Δz | Δx) = (L | 0). Drehen wir sie um einen Winkel θ, so ist (Δz | Δx) = (L∙cos(θ) | L∙sin(θ)), d.h., der Vorwärtsanteil ist um den Faktor cos(θ) geschrumpft. Kein Mensch indes würde dies "Längenkontraktion" nennen.
Wenn wir die Salami nun anschneiden, und zwar senkrecht nicht zu sich selbst sondern zum Lineal, erhalten wir eine Schnittkante der Breite d⁄cos(θ). Niemand indes würde hier von "Breitendilatation" sprechen.
Die Dicke d der Salami seht für die räumliche Ausdehnung d eines Raumfahrzeugs.
Die Länge der Salami seht für die – an Bord gemessene – Dauer (Eigenzeit) Ƭ eines an Bord stattfindenden Vorgangs, während die Koordinatendifferenz Δz für die von einer Bezugsuhr U aus ermittelte Dauer Δt desselben Vorgangs (U- Koordinatenzeit) steht. Die Neigung Δx⁄Δz = tan(θ) steht für die 1D-Geschwindigkeit Δx⁄Δz = v, mit der sich das Fahrzeug relativ zu U bewegt.
Die erwähnte Schnittfläche stellt eine "Momentaufnahme" während des erwähnten Vorgangs dar.
Allerdings gibt es neben den Ähnlichkeiten zwischen der räumlichen z-x-Ebene und der raumzeitlichen t-x-Ebene auch große Unterschiede.
In der z-x-Ebene gilt der Satz des PYTHAGORAS: Das Abstandsquadrat zwischen zwei Punkten ist durch
(1) Δz² + Δx² = Δs²
gegeben. Punkte mit gleichem Abstand von einem bestimmten Punkt, z.B. den Ursprung O, liegen auf demselben Kreis um O.
In der Raumzeit gilt stattdessen MINKOWSKIs Abstandsquadrat
(2.1) Δt² − Δx²⁄c² = Δτ²
zwischen zwei Ereignissen, was wegen des Minuszeichens 0 oder sogar negativ werden kann. Für Ereignisse, bei denen letzteres der Fall ist, ist es sinnvoll, (2.1) in
(2.2) Δx² − c²Δt² = Δς²
umzuschreiben, wobei Δς der räumliche Abstand zwischen beiden Ereignissen in einem Koordinatensystem ist, in dem sie gleichzeitig sind.
Ereignisse mit gleichem MINKOWSKI- Abstand von einem gegebenen Ereignis liegen auf derselben Hyperbel um diesen, und die Rolle von cos(θ) ≤ 1 übernimmt in der Raumzeit der berühmte LORENTZ-Faktor
(3) γ := 1/√{1 − (v⁄c)²} ≥ 1;
Abb. 1: Vergleich räumliche vs raumzeitliche Ebene
