Funktionen und Äquivalenzrelationen?
Hey,
Es sei g: X → Y eine Funktion. Und wir haben die Relation a ∼b ⇔ f (a) = f (b), wie zeige ich, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt?
Ich habe z.B.: a = 40 und b = 41 (weil "∼"). Wenn wir die Funktion g(x) = x^3 haben. Bekommen wir für a 1600 und für b 1681. Was nicht gleich ist.
Verstehe ich das richtig?
Danke in Voraus!
2 Antworten
Ich habe z.B.: a = 40 und b = 41 (weil "∼"). Wenn wir die Funktion g(x) = x^3 haben. Bekommen wir für a 1600 und für b 1681. Was nicht gleich ist.
Verstehe ich das richtig?
Genau, in diesem Fall sind a und b nicht in Relation zueinander. Du hast aber auch ein ziemlich schlechtes Beispiel für eine Funktion gefunden, da diese Funktion Injektiv ist. Hier ist als jedes Element nur in Relation zu sich selbst.
Anders Beispiel: f(x) =x^2 (von R nach R)
Dann ist zum Beispiel 1 in Relation zu -1, da 1^2=(-1)^2
Es hat nichts mit allgemeinen äquivalenzrelationen zu tun, sondern etwas mit dieser.
Injektivität bedeutet, dass wenn f(x)=f(y) gilt, dass dann x=y gelten muss.
Bei dieser Äquivalenz gilt also, wenn f Injektiv ist, dass wenn a~b gilt, dass dann a=b gelten muss.
Ich weiß nun, dass es um eine injektive Funktion handelt, aber wie schlussfolgere ich daraus, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt?
Nein, du soll zeigen, dass es für eine allgemeine Funktion eine Äquivalenzrelation ist. Die Funktion muss nicht unbedingt Injektiv sein.
Versuche doch Mal die drei Eigenschaften der Äquivalenzrelation nachzuweisen. Hier ist es eigentlich nicht so schwer.
Ein konkretes Beispiel eignet sich nur als Gegenbeispiel, nicht für einen Beweis.
Prüfe die Definition einer Äquivalenzrelation für beliebige a, b und c.
Also für a = 41 und b = 42
Kann ich a und a+1 schreiben?
Damit hättest du dasselbe konkrete Beispiel.
Die Definition einer Äquivalenzrelation bezieht sich aber auf alle Paare bzw. Tripel von Elementen.
Für endliche Definitionsbereiche und endliche Funktionenmengen könntest du die Aussage beweisen, indem du alle Beispiele, die überhaupt möglich sind, prüfst. Aber auch das dauert ziemlich schnell sehr, sehr lange. Bei unendlichen Bereichen hast du keine Chance.
Was hat Injektivität und surjuktivität mit Äquivalenzrelation zu tun? Ich dachte Äquivalenzrelation, wären nur, wenn es reflexiv, transitiv und symmetrisch ist