Für quad. Matrizen. Wenn AB = 0, dann BA = 0?
Mir ist klar, dass diese Beziehung allgemein für Matrizen A und B auf n x n nicht gilt. Ein Gegenbeispiel A[0 1, 0 1] und B[1 1, 0 0] zeigt das schnell.
Meine Frage ist, wieso der folgende Beweis falsch ist:
(X sei Inverse von A, 0 Sei Nullmatrix)
AB = 0
-> XAB = X0 [XA = 1; X0 = 0]
-> B = 0
---> BA = 0A = 0
3 Antworten
Dein Beweis geht nur durch, wenn A invertierbar ist, denn nur dann ist die Abbildung f(x) = Ax ein Isomorphismus, d.h. nur dann gilt die Identität f(x) = 0 <==> x = 0.
Wenn A invertierbar ist (also Det A ungleich 0, das gilt in deinem Beispiel garnicht), dann impliziert AB=0, dass B=0 sein muss.
Dein Beweis setzt ja gerade die Existenz von X voraus. Für dein A im Beispiel gibt es dieses X aber nicht, deshalb wird hier auch nicht B=0 impliziert.
Du nimmst an, dass A invertierbar ist. Für singuläre Matrizen A hast du hier nichts gezeigt.