Folgenstetigkeit Definition?
Wieso hat man die Folgenstetigkeit nicht einfach so definiert:
Eine Funktion f ist im Punkt x0 stetig, wenn für die beiden Folgen an := 1/n+x0 und bn := -1/n+x0 gilt, dass f(an) und f(bn) = f(x0) ist? Ist doch viel einfacher als es für alle Folgen beweisen zu müssen?
2 Antworten
Weil diese Definition nicht sinnvoll ist, da diese nicht Äquivalent zum Epsilon Delta Kriterium von Stetigkeit ist.
Betrachte folgende Funktion:
f(x)= 1 wenn x eine Rationale Zahl ist, und 0 wenn nicht.
Diese Funktion ist nicht stetig, da jede offene Umgebung sowohl rationale und irrationale Zahlen enthält.
Sei aber x rational, dann ist x+1/n und x-1/n für alle natürlichen n rational. Somit ist f(x+1/n)=f(x)=f(x-1/n) für alle natürlichen n
Das selbe gilt auch wenn x irrational ist.
Nach deiner "Vereinfachten" Definition wäre es also Folgenstetig, aber nicht in der richtigen Definition. Betrachte zum Beispiel eine Folge x_n, für die gilt: x_n ist rational für alle n, und x_n geht gegen Wurzel(2) (so eine Folge existiert, da Q dicht in R ist)
Dann gilt: f(x_n)=1 für alle n, somit ist auch der Grenzwert 1. f(wurzel(2)) ist jedoch 0.
Es ist somit wichtig dass es für ALLE folgen gelten muss, da deine Definition ziemlich sinnlos ist.
Ja, und zwar wirst du das immer finden können, egal auf wie viele folgen du es beschränktst. Die Reellen Zahlen sind überabzählbar , jede Folge deckt jedoch nur abzähl are viele Elemente ab. Wenn du also endlich viele folgen nimmst, wirst du immer noch eine Folge finden können, die aus nicht abgedeckten Elementen besteht. Somit kannst du eine Funktion konstruieren, wo es wieder nicht funktioniert.
Oh du meinst also egal welche Folgen ich nehme, ich kann eine Funktion machen die bei allen Werten der Folgen 1 ist und bei den anderen Werten 0 ist. Dann wäre sie laut meiner Definition stetig was sie ja eigentlich nicht ist, weil es ja zwischen den Werten aller Folgen Sprünge gibt oder? Ich bräuchte also ein Intervall damit das funktioniert, was ich durch unendlich viele Folgen bekomme
Folgenstetigkeit ist eher ein Kriterium welches man benutzt, um zu zeigen, dass eine Funktion nicht stetig ist, da man dann einfach eine Folge finden muss, wo der Grenzwert nicht gleich dem Funktionswert ist. (Und für einige andere Beweise kann die Eigenschaft ganz nützlich sein) man nutzt das Kriterium aber NICHT um Stetigkeit zu beweisen.
Stattdessen solltest du lieber wie gesagt das Epsilon-Delta Kriterium benutzen (oder andere Stetigkeitssätze, wie zum Beispiel dass die Verkettung stetiger Funktionen stetig ist)
Wir sagen, dass f bei x0 ∈ X folgenstetig ist, falls für jede konvergente Folge (xn)n in X mit Grenzwert limn→∞ xn = x0 die Folge (f(xn))n konvergiert und Grenzwert limn→∞ f(xn) = f(x0) hat.
Ok ich sehe ein Problem ist, dass meine Folgen rational sind. Was wäre wenn man einfach 4 Folgen (1 rationale und 1 irrationale von links und 1 rationale und 1 irrationale von rechts) nimmt und alle mit f(x0) übereinstimmen müssen? Gibt es auch hier wieder einen Sonderfall der meine Definition zerstört?