Beweisen Sie, dass die Funktion ein Maximum annimmt(Weierstraß)?
Hi, habe die folgende Aufgabe:
Sei f : [0,∞) → R eine stetige Funktion, die nur positive Werte annimmt und für die gilt: ∀ε > 0 ∃x0 > 0 ∀x ≥ x0 : 0 < f(x) < ε. Beweisen Sie, dass die Funktion f irgendwo ihr Maximum annimmt, d.h. dass es (mindestens) ein x_max gibt mit f(x_max) ≥ f(x) für alle x ≥ 0.
Meine Idee war mit dem Satz von Weierstraß zu argumentieren aber das fällt wohl weg, da es nicht nicht um ein kompaktes Intervall handelt. Daher fehlt mich da ein wirklicher Ansatz. Hätte da jemand eine Idee, wie man im groben vor gehen kann?
1 Antwort
Es muss ein z>0 geben, so dass f(z)=ε1 > 0.
Wir wählen dann ε2 = ε1 / 2.
N.V. gibt es dann x0, so dass f(x) < ε2 für x > x0.
Wir wählen zusätzlich x0 > 2z, wenn das nicht schon der Fall ist.
Dann teilen wir die reelle Halbachse in das Intervall [0, x0] und [x0, unendlich)
Auf [0, x0] wir nun das Maximum angenommen, und es ist grösser gleich ε1 und > ε2, es ist also das globale Maximum.