Frage zur Leistungsanpassung in Elektrotechnik?
Hallo,
ich versuche mich gerade an einer Aufgabe in der es um die Leistungsanpassung geht. Ich versteh leider einige Dinge nicht, obwohl das Thema ja eigentlich nicht so schwer sein soll.
Bei dieser Schaltung soll berechnet werden, welche Leistung der Wiederstand R4 max. aufnehmen kann.
Ich habe die Schaltung soweit zusammengefasst und den Kurzschlussstrom Ik berechnet. Wieso berechnet man erst die Leerlaufspannung mit R13 * Ik ?
Man hätte doch eigentlich R13 + R2 = Ri2 und dann mal Ik rechnen können. Und warum teilt man die Leerlaufspannung für R4 durch 2?
Am Ende in der Pmax wird 1,25 nochmal durch 2 geteilt? Wieso das?
Danke im voraus.
1 Antwort
Bestimme zunächst die realle Ersatzspannungsquelle bezüglich der Anschlussklemmen von R4.
1.Schritt: Bestimme Innenwiderstand Ri
--> Ersetze alle Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und alle Stromquellen durch offene Klemmen. Bestimme schließlich den resultierenden Gesamtwiderstand bezüglich der Anschluss an R4.
2. Schritt: Bestimme die Leerlaufspannung U0
--> Ersetze den Lastwiderstand R4 durch offene Klemmen (R --> inf) und bestimme die Spannung zwischen den Klemmen. Diese entspricht dann U0.
Hier folgt also:
Innenwiderstand:
Ri = (R5 + (R6 || R7)) || (R2 + (R1 || R3))
Leerlaufspannung:
... Mehrere Spannungsteiler und Superposition ...
U0 = [(R5 + (R6 || R7))*(1 + 2*R3/(R3 + R1))] * Uq/[ R2 + (R5 + (R6 || R7)) + R3 - R3^2/(R1 + R3) ]
Die reale Ersatzspannungsquelle besitzt nun den Innenwiderstand Ri und die Spannung U0. Man finde nun den Lastwiderstand R4 für den die in diesem Widerstand umgesetze Leistung maximal wird. Für die Leistung ergibt sich mittels Spannungsteiler und p = u*i hier:
U4 = U0 * R4/(R4 + Ri)
I4 = U0/(R4 + Ri)
P = U0^2 * R4 /((R4 + Ri)^2 )
Man differenziere nun nach R4:
dP/dR4 = U0^2 * [ 1/(R4 + Ri)^2 - 2 * R4/(Ri + R4)^3 ]
An einer Extremstelle muss gelten: dP/dR4 = 0 , und hier folgt damit:
R4 + Ri - 2*R4 = 0 --> Ri = R4
Überprüfe nun ob an der Extremstelle ein Maximum vorliegt:
d²P/dR4^2 = U0^2 * [(-4)/(R4 + Ri)^3 + 6*R4/(R4 + Ri)^4]
--> d²P/dR4^2 ( R4 = Ri) = U0^2 * [ (-4)/(2*R4)^3 + 6 * R4/(2*R4)^4 ] < 0
Somit liegt für R4 = Ri ein lokales Maximum vor. (Es lässt sich zeigen, dass dies auch dem globalen Maximum entspricht ... )
Um nun die maximale Leistung zu berechnen setzen wir also einfach R4 = Ri in den Ausdruck für P ein und erhalten somit:
Pmax = P(R4 = Ri) = U0^2 /(4*Ri)
Mit dem Kurzschlussstrom Ik = U0/Ri lässt sich auch alternativ schreiben:
Pmax = (U0 * Ik)/4 = Ik^2 * Ri/4 = U0^2 /(4*Ri)
Die hier gezeigte Herleitung sollte eigentlich alle Fragen klären ... .
Danke. Wirklich sehr gut erklärt!!! jetzt ist mir alles klar...