Frage bezüglich determinante der Matrix finden?
Guten tag habe die aufgabe mit sinnvolles überlegen gelöst aber wie würde man es rechnerisch lösen können? Mir würde in den sinn kommen dies mit dem entwicklungssatz von Laplace zu lösen doch es wäre doch zu aufwendig mit den verschiedenen parametern zu bearbeiten so. Kann mir jemand was vorrechnen ?
2 Antworten
Du hast eine mögliche Lösung durch deine Überlegung gefunden. Gesucht sind jedoch alle Werte, die det(...) = 0 erfüllen.
Den Laplace-Entwicklungssatz könnte man verwenden. Ich persönlich würde das jedoch eher mit elementaren Zeilen- bzw. Spalten-Umformungen lösen.
Bedenke insbesondere:
- Addiert man das Vielfache einer Zeile/Spalte zu einer anderen Zeile/Spalte ändert sich die Determinante nicht.
- Vertauscht man zwei Zeilen/Spalten, ändert sich das Vorzeichen.
- Bei Dreiecksmatrizen ist die Determinante gleich dem Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen.
Im konkreten Fall bietet es sich an, die 4-te Spalte von den anderen Spalten zu subtrahieren. Dann entstehen schnell viele Nuller und man hat schon fast eine Dreiecksmatrix. Man muss dann nur noch die 4-te Spalte nach vorne durchtauschen, und schon hat man eine untere Dreiecksmatrix, bei der man die Determinante einfach ablesen kann.
Ergebnis: Die gesuchten Werte sind genau die Werte, bei denen a = 0 oder b = 2 oder c = 3 oder d = 4 ist.
Doch. Das Vorzeichen hat sich geändert.
Ich habe 3 paarweise Spaltenvertauschungen durchgeführt, was 3-mal das Vorzeichen ändert. Daher ist nach diesem Schritt ein Faktor (-1)³ hinzugekommen, was sich zu -1 vereinfachen lässt. [Quasi: 2 Vorzeichenänderungen haben sich gegenseitig aufgehoben; eine Vorzeichenänderung ist noch übrig geblieben.]
Edit: OK, das hast du inzwischen selbst noch gesehen.
In diesem Fall habe ich die Formeln in Microsoft Word aufgeschrieben.
... und dann mit Hilfe von „Snip & Sketch“ (bei Windows über [Windows-Taste] + [Shift-Taste] + [S] erreichbar) einen Bildschirmausschnitt als Bild in die Zwischenablage erhalten, was ich dann in die Antwort eingefügt habe.
Hier stand nicht weiter hilfreiches.
Wow danke für die ausfürliche antwort sofort verstanden und vielen dank. Nur noch ne kleine frage nun wenn wir die spalten vertauschen hast du ja gesagt das sich die Vorzeichen verändern, doch wir haben diese vertauscht und die vorzeichen sind ja noch gleich oder habe ich ein denkfehler? Edit: habe jetzt erst die -1 vor det() hat sich geklärt danke nochmals