Findet ihr eine Zahl?
Findet ihr eine Zahl, die durch 8 und 3 ganzzahlig teilbar ist, und auf 6 endet?
Die Zahl soll >300 sein, davor habe ich schon einige.
10 Antworten
a ist durch 8 und durch 3 teilbar:
a ist Vielfaches von kgV(8; 3)
kgV(8; 3) = 24
Also: a ist durch 24 teilbar
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a endet auf 6:
a ist "kongruent" 6 "modulo" 10
("Kongruenz" in der Arithmetik: zwei Zahlen haben denselben Rest bei Division durch eine dritte Zahl, den "Modulus" - und dann nimmt man die lateinische Ausdrucksweise für "bezogen auf einen Modulus", und das ist kurz und knapp "modulo")
Teilbarkeit durch 24 als Kongruenz ausgedrückt:
a ist kongruent 0 modulo 24
Damit haben wir eine "Simultane Kongruenz" zu lösen (https://de.wikipedia.org/wiki/Simultane_Kongruenz)
Weil 10 und 24 nicht teilerfremd sind, müssen wir das Ganze erst mal durch ggT(10; 24) teilen und am Ende wieder damit multiplizieren.
ggT(10; 24) = 2
Substitution:
b := a / 2
a = 2 b
b kongruent 0 modulo 12
b kongruent 3 modulo 5
(Wir können natürlich auch gleich von Anfang an die Teilbarkeiten durch 8 und 3 als eigenständige Kongruenzen auffassen. Ob das einfacher ist, ist fraglich.)
Wegen
kgV(12; 5) = 60
reicht es, 60 aufeinander folgende (natürliche) Zahlen zu betrachten, etwa
{0, 1, ..., 59}
Alle weiteren Zahlen, die die Kongruenzen erfüllen, unterscheiden sich um ein ganzzahliges Vielfaches von 60 von den in diesem Bereich gefundenen Lösungen.
Hier kann man noch alles von Hand durchprobieren (Vielfache von 12)
0 kongruent 0 modulo 5
12 kongruent 2 modulo 5
24 kongruent 4 modulo 5
36 kongruent 1 modulo 5
48 kongruent 3 modulo 5 (Treffer!)
Also gilt:
Genau die Zahlen
b = 48 + k * 60
(mit k beliebig ganzzahlig)
sind die Lösungen der substituierten Aufgabe.
Aufs Original bezogen:
a = 96 + k * 120
sind genau die Lösungen der ursprünglichen Aufgabe (ohne die Einschränkung "größer als 300").
wegen
1 * 120 + 96 = 217 <= 300
und 2 * 120 + 96 = 336 > 300
ist 336 die kleinste der gesuchten Zahlen; jede weitere ergibt sich durch Addition eines natürlichen Vielfachen von 120 hieraus.
Also
336 + 120 * 0
336 + 120 * 1
336 + 120 * 2
...
576
24 ist teilbar durch beide Zahlen (8*3) und 240+240 ist 480.
Jetzt + 24 bis zur 6 am Ende. -> 576
n ist durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die die letzten 3 Ziffern bilden, durch 8 teilbar ist.
n ist durch 3 teilbar, wenn die quarsumme durch 3 teilbar ist.
Das reicht aus um unendlich viele Zahlen zu Konstruieren, spontan würde mir die Konstruktion:
n*10^3+16 einfallen, wobei n bezüglich Modulo 3 den Rest 2 hat
Zum Beispiel:
2016
62016
131016
Etc
Statt 16 kann man eine andere durch 8 teilbare 3 stellige Zahl nehmen, die auf 6 endet (z.b 56) dann muss aber der Rest von n anders sein
Hier eine "kleine" Auswahl von allen Zahlen > 300 und < 100.000:
336, 456, 576, 696, 816, 936, 1056, 1176, 1296, 1416, 1536, 1656, 1776, 1896, 2016, 2136, 2256, 2376, 2496, 2616, 2736, 2856, 2976, 3096, 3216, 3336, 3456, 3576, 3696, 3816, 3936, 4056, 4176, 4296, 4416, 4536, 4656, 4776, 4896, 5016, 5136, 5256, 5376, 5496, 5616, 5736, 5856, 5976, 6096, 6216, 6336, 6456, 6576, 6696, 6816, 6936, 7056, 7176, 7296, 7416, 7536, 7656, 7776, 7896, 8016, 8136, 8256, 8376, 8496, 8616, 8736, 8856, 8976, 9096, 9216, 9336, 9456, 9576, 9696, 9816, 9936, 10056, 10176, 10296, 10416, 10536, 10656, 10776, 10896, 11016,
11136, 11256, 11376, 11496, 11616, 11736, 11856, 11976, 12096, 12216, 12336, 12456, 12576, 12696, 12816, 12936, 13056, 13176, 13296, 13416, 13536, 13656, 13776, 13896, 14016, 14136, 14256, 14376, 14496, 14616, 14736, 14856, 14976, 15096, 15216, 15336, 15456, 15576, 15696, 15816, 15936, 16056, 16176, 16296, 16416, 16536, 16656, 16776, 16896, 17016, 17136, 17256, 17376, 17496, 17616, 17736, 17856, 17976, 18096, 18216, 18336, 18456, 18576, 18696, 18816, 18936, 19056, 19176, 19296, 19416, 19536, 19656, 19776, 19896, 20016, 20136, 20256, 20376, 20496, 20616, 20736, 20856, 20976, 21096, 21216, 21336, 21456, 21576, 21696, 21816,
21936, 22056, 22176, 22296, 22416, 22536, 22656, 22776, 22896, 23016, 23136, 23256, 23376, 23496, 23616, 23736, 23856, 23976, 24096, 24216, 24336, 24456, 24576, 24696, 24816, 24936, 25056, 25176, 25296, 25416, 25536, 25656, 25776, 25896, 26016, 26136, 26256, 26376, 26496, 26616, 26736, 26856, 26976, 27096, 27216, 27336, 27456, 27576, 27696, 27816, 27936, 28056, 28176, 28296, 28416, 28536, 28656, 28776, 28896, 29016, 29136, 29256, 29376, 29496, 29616, 29736, 29856, 29976, 30096, 30216, 30336, 30456, 30576, 30696, 30816, 30936, 31056, 31176, 31296, 31416, 31536, 31656, 31776, 31896, 32016, 32136, 32256, 32376, 32496, 32616,
32736, 32856, 32976, 33096, 33216, 33336, 33456, 33576, 33696, 33816, 33936, 34056, 34176, 34296, 34416, 34536, 34656, 34776, 34896, 35016, 35136, 35256, 35376, 35496, 35616, 35736, 35856, 35976, 36096, 36216, 36336, 36456, 36576, 36696, 36816, 36936, 37056, 37176, 37296, 37416, 37536, 37656, 37776, 37896, 38016, 38136, 38256, 38376, 38496, 38616, 38736, 38856, 38976, 39096, 39216, 39336, 39456, 39576, 39696, 39816, 39936, 40056, 40176, 40296, 40416, 40536, 40656, 40776, 40896, 41016, 41136, 41256, 41376, 41496, 41616, 41736, 41856, 41976, 42096, 42216, 42336, 42456, 42576, 42696, 42816, 42936, 43056, 43176, 43296, 43416,
43536, 43656, 43776, 43896, 44016, 44136, 44256, 44376, 44496, 44616, 44736, 44856, 44976, 45096, 45216, 45336, 45456, 45576, 45696, 45816, 45936, 46056, 46176, 46296, 46416, 46536, 46656, 46776, 46896, 47016, 47136, 47256, 47376, 47496, 47616, 47736, 47856, 47976, 48096, 48216, 48336, 48456, 48576, 48696, 48816, 48936, 49056, 49176, 49296, 49416, 49536, 49656, 49776, 49896, 50016, 50136, 50256, 50376, 50496, 50616, 50736, 50856, 50976, 51096, 51216, 51336, 51456, 51576, 51696, 51816, 51936, 52056, 52176, 52296, 52416, 52536, 52656, 52776, 52896, 53016, 53136, 53256, 53376, 53496, 53616, 53736, 53856, 53976, 54096, 54216,
54336, 54456, 54576, 54696, 54816, 54936, 55056, 55176, 55296, 55416, 55536, 55656, 55776, 55896, 56016, 56136, 56256, 56376, 56496, 56616, 56736, 56856, 56976, 57096, 57216, 57336, 57456, 57576, 57696, 57816, 57936, 58056, 58176, 58296, 58416, 58536, 58656, 58776, 58896, 59016, 59136, 59256, 59376, 59496, 59616, 59736, 59856, 59976, 60096, 60216, 60336, 60456, 60576, 60696, 60816, 60936, 61056, 61176, 61296, 61416, 61536, 61656, 61776, 61896, 62016, 62136, 62256, 62376, 62496, 62616, 62736, 62856, 62976, 63096, 63216, 63336, 63456, 63576, 63696, 63816, 63936, 64056, 64176, 64296, 64416, 64536, 64656, 64776, 64896, 65016,
65136, 65256, 65376, 65496, 65616, 65736, 65856, 65976, 66096, 66216, 66336, 66456, 66576, 66696, 66816, 66936, 67056, 67176, 67296, 67416, 67536, 67656, 67776, 67896, 68016, 68136, 68256, 68376, 68496, 68616, 68736, 68856, 68976, 69096, 69216, 69336, 69456, 69576, 69696, 69816, 69936, 70056, 70176, 70296, 70416, 70536, 70656, 70776, 70896, 71016, 71136, 71256, 71376, 71496, 71616, 71736, 71856, 71976, 72096, 72216, 72336, 72456, 72576, 72696, 72816, 72936, 73056, 73176, 73296, 73416, 73536, 73656, 73776, 73896, 74016, 74136, 74256, 74376, 74496, 74616, 74736, 74856, 74976, 75096, 75216, 75336, 75456, 75576, 75696, 75816,
75936, 76056, 76176, 76296, 76416, 76536, 76656, 76776, 76896, 77016, 77136, 77256, 77376, 77496, 77616, 77736, 77856, 77976, 78096, 78216, 78336, 78456, 78576, 78696, 78816, 78936, 79056, 79176, 79296, 79416, 79536, 79656, 79776, 79896, 80016, 80136, 80256, 80376, 80496, 80616, 80736, 80856, 80976, 81096, 81216, 81336, 81456, 81576, 81696, 81816, 81936, 82056, 82176, 82296, 82416, 82536, 82656, 82776, 82896, 83016, 83136, 83256, 83376, 83496, 83616, 83736, 83856, 83976, 84096, 84216, 84336, 84456, 84576, 84696, 84816, 84936, 85056, 85176, 85296, 85416, 85536, 85656, 85776, 85896, 86016, 86136, 86256, 86376, 86496, 86616,
86736, 86856, 86976, 87096, 87216, 87336, 87456, 87576, 87696, 87816, 87936, 88056, 88176, 88296, 88416, 88536, 88656, 88776, 88896, 89016, 89136, 89256, 89376, 89496, 89616, 89736, 89856, 89976, 90096, 90216, 90336, 90456, 90576, 90696, 90816, 90936, 91056, 91176, 91296, 91416, 91536, 91656, 91776, 91896, 92016, 92136, 92256, 92376, 92496, 92616, 92736, 92856, 92976, 93096, 93216, 93336, 93456, 93576, 93696, 93816, 93936, 94056, 94176, 94296, 94416, 94536, 94656, 94776, 94896, 95016, 95136, 95256, 95376, 95496, 95616, 95736, 95856, 95976, 96096, 96216, 96336, 96456, 96576, 96696, 96816, 96936, 97056, 97176, 97296, 97416, 97536, 97656, 97776, 97896, 98016, 98136, 98256, 98376, 98496, 98616, 98736, 98856, 98976, 99096, 99216, 99336, 99456, 99576, 99696, 99816, 99936
zunächst müssen die Primfaktoren 3, 2, 2 und 2 in der Zahl enthalten sein. Nun suche ich im Vierer 1x1 (denn 8x3 = 24) die Zahl, die mit vier multipliziert als letzte Stelle 6 hat, nehme die als weiteren Faktor und ich bin fertig. Mit der Nebenbedingung die du nachträglich hinzu gefügt hast wird es etwas komplizierter, aber am Prinzip ändert sich nichts.
Dann eben bei 15*24 anfangen, in 24er Schritten hoch (zur Not mit Konstantentaste vom TR) und letzte Ziffer beachten.
Ja, darauf mit der 24 bin ich auch gekommen ;)