Fehlende Koordinate so bestimmen, dass der Pfeil AB die Länge d hat?

Aufgabe 10 - (Schule, Mathematik, Geometrie)

3 Antworten

Vom Beitragsersteller als hilfreich ausgezeichnet
Volens
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Schule, Mathematik
17.02.2018, 02:02

Hier formal ohne zuviel erklärenden Text: ............................... < > meine Vektoren

Vektor <AB> = <6 ; 4 ; b₃ > - <5 ; 2 ; 5 >  | subtrahieren
       <AB> = < 1 ; 2 ; b₃ - 5 >  

Länge AB = √(1² + 2² + (b₃ - 5)²   | 2. binom. Regel
      AB = √(5 + b₃² - 10b₃ + 25) |Vektorlänge soll 3 sein
                                     3² = 9 (Wurzel weg!)
Daher AB² =  b₃² - 10b₃ + 30  = 9  | -9
             b₃² - 10b₃ + 21  = 0  | p,q-Formel
                                    p = -10     q = 21
             b₃ = 5 ± √(25 - 21)
             b₃ = 5 ± 2
             b₃₁ = 7
             b₃₂ = 3

Daraus die zwei Vektoren, die beide die Länge 3 haben:

<AB₁> = < 1 ; 2 ; 2 >       <AB₂> = < 1 ; 2 ; -2 >

Den Rechenweg kann man mit anderen Werten nachvollziehen und dabei in mehreren Aufgaben verinnerlichen.
Woher ich das weiß:eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb
annekol 
Beitragsersteller
 17.02.2018, 08:12

Danke sehr!;)
IT1234567
16.02.2018, 22:15

Naja, der Pfeil ist eigentlich ein vektor. Die Strecke AB zweier Vektoren ist (wenn es a1, a2, a3 und b1, b2, b3 - für dreidimensionale vektoren) sqrt(b1-a1)^2 + (b2-a2)^2 + (b3-a3)^2)

Wobei sqrt die Wurzel ist. Du möchtest also von der Strecke AB (was B-A ist) die Länge bestimmen, was über Pythagoras eben zu dieser Formel führt
annekol 
Beitragsersteller
 17.02.2018, 08:10

Danke sehr!:)

annekol 
Beitragsersteller
 16.02.2018, 22:31

Stimmt. Ich habe verstanden, was du meinst, ich weiß jetzt aber nicht genau wie man dies mit Wurzel macht
Also ich habe jetzt geschrieben
sqrt ((6-5)^2+(4-2)^2+(b3-5)^2)=3
Und wie kriege ich b3 auf die andere Seite?
Oder habe ich falsch gerechnet?:)

IT1234567  16.02.2018, 22:44
@annekol

Äquivalenzumformungen. Heißt: quadrieren, umstellen -->

b3 müsste 7 sein wenn ich mich nicht im Kopf verrechnet habe.

Willy1729  16.02.2018, 22:58
@annekol

Löse erst einmal die Klammern auf und quadriere beide Seiten, damit das Wurzelzeichen verschwindet.

1²+2²+b²-10b+25=9

Nun alles zusammenfassen und auf eine Seite bringen:

b²-10b+21=0

Das ist eine quadratische Gleichung, deren Lösungen b=3 und b=7 sind.
annekol 
Beitragsersteller
 16.02.2018, 22:19

Danke und was heißt in diesem Fall beim Punkt B x3? Da steht b3 also keine Zahl

IT1234567  16.02.2018, 22:21
@annekol

Das möchtest du ja bekommen, das ist die variable nach der du umformst. Deine Gleichung setzt du gleich d, dann hast du für alle variablen einen Wert außer b3 und kannst somit b3 bestimmen

fjf100
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik, Vektoren, Vektorrechnung
17.02.2018, 01:12

Abstand von 2 Punkten im Raum

d=Wurzel((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+z2-z1)^2)

d^2=.......

zu a) d^2=9=(6-5)^2+84-2)^2+b3-5)^2=1+4+b3^2-2*5*b3+25

0=b3^2-10*b3+25+1+4-9

0=b3^2-10*b3+21 ist eine Parabel

nullstellen mit meinen Graphikrechner ,(GTR,Casio) b31=7 und b32=3

Probe: 9=1+4+(7-5)^2=5+4=9

9=1+4+(3-5)^2=5+4=9

Die anderen Aufgaben gehen auch so.

in "Handarbeit" mußt du die Nullstellen mit der p-q-Formel ermitteln.
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert
annekol 
Beitragsersteller
 17.02.2018, 08:11

Vielen Dank😊