Fadenstrahlrohr?
Meine Frage:
Hi Leute,
habe eine frage zum Fadenstrahlrohrversuch und dem bzgl. der Elektronengeschwindigkeit.
Wir haben folgende Formel gegeben.
Ekin = 1/2m * v^2
mit der Formel kann ich ja die Geschwindigkeit von dem Elektron berechen wenn ich die Formel dementsprechend nach v umforme.
v= Wurzel aus (2e*U)/m
Meine Ideen:
Jetzt meine Frage...und zwar warum gilt diese Formel/Gleichung nur für Geschwindigkeiten unter 10% der Lichtgeschwindigkeit?
Und was passiert wenn die Elektronengeschwindigkeit über 10% der Lichtgeschwindigkeit steigt? (Das verstehe ich garnicht)
Kann mir da leider keine Reim drauf machen
2 Antworten
Hallo Twiti1771,
es ist nicht so, dass die Formel bis 10% der Lichtgeschwindigkeit gälte und oberhalb davon abrupt eine andere. Vielmehr gibt es eine Formel, die immer gilt und aus der "Eₖ = ½mv²" als Näherung hervorgeht.
Masse ist EnergieStreng gilt die Formel gar nicht, weil jede Energie – eben auch die kinetische Energie Eₖ eines Körpers oder Teilchens – "was wiegt".
Umgekehrt ist Masse nichts anderes als Energie, genauer gesagt "kondensierte" Energie. Der größte Teil der Masse, aus der ganz alltägliche Körper bestehen, ist die Bindungsenergie zwischen den Quarks, aus denen sich die Nukleonen (Protonen und Neutronen) zusammensetzen. Die Masse m eines Körpers oder Teilchens ist bis auf den konstanten Faktor mit seiner Ruheenergie E₀ = m∙c² identisch.
Energie und TempoDie Gesamtenergie E = E₀ + Eₖ eines Körpers, der sich relativ zum Bezugskörper mit dem Tempo v = β∙c bewegt, steht zur Ruheenergie in der Beziehung
(1) E = E₀/√{1 − β²} =: E₀∙γ,
wobei γ der LORENTZ- Faktor heißt. Nach β umgestellt ergibt sich
(2) β = √{1 − (E₀⁄E)²}.
was keine Ruheenergie hat, kann sich also nur mit c bewegen (β = 1), und wenn Eₖ so groß ist, dass man E₀ vernachlässigen kann, ist v von c kaum noch unterscheidbar.
Wohl bemerkt: (1) und (2) gelten immer!
Doppelte NäherungDie aus dem Unterricht bekannte Formel für Eₖ ergibt sich als Näherung aus (1):
(3) E = E₀∙(1 + ½β²) = mc²(1 + ½β²) = mc² + ½mv².
Es ist eigentlich eine doppelte Näherungfür eine Größe x<<1:
(4.1) √{1 − x} ≈ 1 − ½∙x
(4.2) 1/(1 − x) ≈ 1 + x
Quadriert man nämlich (4.1) wieder, so ergibt sich
(5.1) (1 − ½∙x)² = 1 − x + ¼∙x²,
und wenn x schon klein ist, ist es x² erst recht. Man kann die Diskrepanz also vernachlässigen.
Gleichung (4.2) hingegen ist der Beginn der Geometrischen Reihe
(5.2) 1/(1 − x) = 1 + x + x² + x³ + …,
und auch hier gilt wieder: Ist schon x klein, so sind es die höheren Potenzen erst recht, und das gilt sogar für die Summe aller höheren Potenzen. Wäre z.B. x = 0,1, so wäre diese 0,01111..., was noch 9 Mal weniger ist.
Hier ist β² für x einzusetzen, und wenn schon β = 0,1 ist, ist β² = 0,01 = 10⁻², und für x² steht dann β⁴ = 10⁻⁴. Ob man findet, das noch vernachlässigen zu können, hängt davon ab, wie genau man die Werte braucht.
Die Formel E=1/2 m v^2 ist nur eine Näherungsformel. Diese Näherung ist für Werte unter 0,1 c verdammt gut. Wenn man aber über 0,1 c kommt wird die Näherung immer schlechter, sodass man nicht mehr sagen kann dass sie gilt. Für Werte über 0,1 c ist die Näherung halt sehr sehr schlecht sodass du deine kinetische Energie anders berechnen musst. Dann bekommst du andere Werte für v raus.
Ja genau, dann stimmt dein Wert den du für v erhälst nicht mehr mit dem tatsächlichen v überein. Weil mit 1/2 mv^2 könntest du auch auf Geschwindigkeiten über der Licht-Geschwindigkeit kommen, was nach der Relativitätstheorie nicht möglich ist. Die Geschwindigkeit deiner Elektronen muss also immer unter c bleiben egal wie hoch du deine Spannung schraubst. Mit der Formel die ihr habt könnte es auch über die Lichtgeschwindigkeit gehen, das tut es aber nicht. Die Geschwindigkeit des Elektrons nähert sich der Licht-Geschwindigkeit lediglich an. Wie schnell es dann wird kann man dann mit anderen (etwas komplizierteren ) Formeln berechnen
Der tatsächliche Wert stimmt immer weniger mit dem errechneten überein. Die 10%-von-c- Schwelle ist gar keine richtige Schwelle, sondern markiert eine Zone, in der sich der Fehler in der Vorhersage von "Eₖ = ½mv²" bemerkbar zu machen beginnt.
Und was passiert, wenn die Elektronengeschwindigkeit über 10% der Lichtgeschwindigkeit steigt?
wird die Rechnung einfach ur ungenauer?