Kann mir wer helfen die Lorentzkontraktion Formel auf die Geschwindigkeit umzuformen?
Ich weiß es sollte nicht so schwer sein, ich bin einfach schlecht im umformen und will mir wirklich sicher sein, dass die Formel dann auch stimmt.
Ich muss die Variable v von der oberen Formel ausrechnen, bitte.
2 Antworten
Hallo LittleAngel1,
man formt eine Gleichung um, indem man auf beiden Seiten dasselbe tut: Dasselbe addieren oder subtrahieren, mit derselben Größe multiplizieren oder durch dieselbe Größe dividieren. Dies nennt man Äquivalenzumformung.
Auch wenn Du beide Seiten quadrierst, bleibt die Gleichung richtig, allerdings gilt dies auch nicht als Äquivalenzumformung, da dies zusätzliche Lösungen produziert.
Wenn Du nach v auflösen sollst, musst Du die obere Gleichung zuerst ausquadrieren:
(1) L² = L₀²(1 − (v⁄c)²).
Dann teilst Du beide Seiten durch L₀² und erhältst
(2) L²⁄L₀² = (L⁄L₀)² = 1 − (v⁄c)².
Dann addierst Du auf beiden Seiten (v⁄c)² und subtrahierst auf beiden Seiten (L⁄L₀)²:
(3) (v⁄c)² = v²⁄c² = 1 − (L⁄L₀)²
Nun ziehst Du auf beiden Seiten die Quadratwurzel und multiplizierst beide Seiten mit c und erhältst
(4) v = c∙√{1 − (L⁄L₀)²}.
Was sind eigentlich L₀ und L?Fortbewegung ist relativ, d.h., Geschwindigkeit versteht sich relativ zu einem Körper B, den wir als Bezugskörper ausgewählt haben, d.h. als stationär ansehen. Mit v ist die 1D-Geschwindigkeit eines zweiten Körpers B' (z.B. eines Raumfahrzeugs) in x-Richtung eines von B aus definierten Koordinatensystems Σ gemeint.
Nach GALILEIs Relativitätsprinzip (kurz RP) ist allerdings ein von B' definiertes Koordinatensystem Σ', in dem B' natürlich ruht und sich B mit der x'-Geschwindigkeit −v (gleiches Tempo, entgegengesetzte Richtung) bewegt, physikalisch gleichwertig zu Σ.
L₀ ist die x'-Ausdehnung eines Körpers an Bord von B' in dessen Ruhesystem Σ', L ist die x-Ausdehnung desselben Körpers in Σ.
Der LORENTZ-FaktorÜbrigens wird der Ausdruck 1/√{1 − (v⁄c)²} auch kurz γ (sprich "gamma") und heißt auch der LORENTZ-Faktor. Derselbe Faktor steht auch für das Verhältnis Δt⁄Δτ. Dabei ist
- Δτ = τ₂ − τ₁ eine Zeitspanne zwischen zwei Ereignissen E₁ und E₂ an Bord von B', wie sie von einer lokalen Uhr direkt gemessen wird (Eigenzeit) und
- Δt die von B aus unter der Annahme, dass B stationär ist, aus Messwerten berechnete Zeitspanne zwischen E₁ und E₂ (B- Koordinatenzeit).
Es hat sich dank der SRT herausgestellt, dass die Masse m eines Körpers nichts anderes ist als kondensierte Energie; man spricht auch von seiner Ruheenergie E₀ = mc².
Früher hat man die Masse oft "Ruhemasse" genannt und gesagt, diese verändere sich, wenn der Körper sich bewegt. Eigentlich gehört diese "zusätzliche Masse" aber nicht zum Körper selbst, sondern zu der von ihm gleichsam "mitgeschleppte" kinetische Energie Eₖ. Auch das Verhältnis zwischen der Gesamtenergie E = E₀ + Eₖ und der Ruheenergie E₀ allein ist γ.
Wenn ich wissen will, wie schnell ein Teilchen der Ruheenergie E₀ wird, wenn man ihm die Kinetische Energie Eₖ zuführt, muss man nur L⁄L₀ durch E₀⁄E ersetzen:
(5.1) v = c∙√{1 − (E₀⁄E)²}
Jagt man z.B. ein Elektron durch eine Beschleunigungsspannung U, ist sein Tempo anschließend
(5.2) v = c∙√{1 − mₑ²c⁴/(mₑc² + U∙e)²}
wobei e ≈ 1,6×10⁻¹⁹ C die Elementarladung ist.
Vielleicht so:
