Extremwertprobleme?

Könnte mir jemand bei der Aufgabe der Milchtüte weiterhelfen und mir eine Lösung dazu formulieren? Ich persönlich habe Werte herausgefunden, welche aber bei weitem nicht stimmen können.

Answer 1

[nobytree2]

Das Volumen ist 1 L = 1000 cm³

Für die Verpackungsfläche, wonach sich der zu minimierende Materialaufwand richtet, haben wir Breite, Höhe, Tiefe. Aufgrund des quadratischen Bodens Breite b (= Tiefe) und Höhe h. Der Materialverbrauch ist damit (vier Seitenflächen und zwei Böden):

$M\left(b,h\right)=2b^2+4b\cdot h$

Das Volumen als Nebenbedingung ergibt sich

$V\left(b,h\right)=b^2h=1000cm^3$ Wir werden nun h durch einen Term mit b ersetzen

$h=\frac{1000cm^3}{b^2}$ und setzen es in M(b, h) ein, wodurch die Variable h wegfällt:

$M\left(b\right)=2b^2+4b\cdot\frac{1000cm^3}{b^2}=2b^2+\frac{4000cm^3}{b}$ Das leiten wir ab, da wir das Optimum wollen:

$M\left(b\right)'=4b-\frac{4000cm^3}{b^2}=0$ Nullsetzung, um das Optimum zu erhalten. Zuerst multiplizieren wir alles mit b².

$4b^3=4000cm^3\to b=10cm$ $h=\frac{1000cm^3}{10^2cm^2}=10cm$ $M=2\cdot\left(10cm\right)^2+4\cdot10cm\cdot10cm=600cm^2$

Hätte man weitaus komplizierter herleiten können, nämlich über einen Quader in einer Kugel - aber lassen wir das ...

Comments

[Imlisahehe]

Dankeschön! :)