Wer kann mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen?
Ich habe es schon so lange versucht, aber komme einfach auf keine Lösung.
Aufgabe: Von einer Kugel mit dem Radius 15 soll ein Stück so abgeschnitten werden, dass die Haube (Kalotte) dieses Abschnitts 2,8 mal so groß ist wie der Schnittkreis.
Berechne das Volumen dieses Kugelsegments!
2 Antworten
Ich arbeite mit den Formeln und Bezeichnungen aus Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelsegment
Die gesamte Oberfläche des Segments ist (2a² + h²) * Pi, davon ist (a² + h²) * Pi die Kalotte und a² * Pi die Kreisscheibe.
Die Aufgabe verstehe ich so, dass
2.8 = (a² + h²) * Pi / (a² * Pi ) = (a² + h²) / a², also 1.8 a² = h².
Das Volumen ist h * (3a² + h²) * Pi/6 = Wurzel(1.8) * a * 4.8 * a² * Pi/6
= Wurzel(1.8) * 0.8 * a³ * Pi.
Nun brauchen wir nur noch a, das geht mit Pythagoras
r² = (r-h)² + a², woraus 2rh = a² + h² und 2r = 2.8 a² / Wurzel(1.8 a²),
somit a = 2 * 15 * Wurzel(1.8) / 2.8.
Eingesetzt in die Volumenformel
Wurzel(1.8) * 0.8 * (2 * 15 * Wurzel(1.8) / 2.8)³ * Pi = 10015.5.
Die ganze Kugel wäre 14137, deshalb bin ich etwas skeptisch bezüglich meiner Berechnung ....
Vorüberlegung:
Eine Halbkugel hat die Mantelfläche:
M = 2 * π * r²
M = 2 * π * 15²
M = 1413,72 FE
Die Kugel hat mittig die größte Schnittfläche:
A = r² * π
A = 15² * π
A = 706,86 FE
Verhältnis Mantel Halbkugel zu Schnittfläche:
2 : 1
Verkleinert man das Kugelsegment, also den Radius der Schnittfläche, so verkleinert sich auch das Verhältnis von Mantelfläche zu Schnittfläche. Das Verhältnis 2,8 : 1 kann durch ein kleineres Segment nicht erreicht werden.
Daher ist davon auszugehen, dass das Kugelsegment größer ist, als eine Halbkugel.
Auf dieser Basis sollte eine Lösung möglich sein.