Extremwertproblem - größte Summe gesucht
Ich weiß nicht, ob die Frage erlaubt ist, aber ich habe ein Problem in der Mathematik.
In einem Buch steht die Aufgabe: "Zerlege 24 so in ein Produkt, dass die Summe der Quadrate der Summanden am kleinsten wird." Diese Aufgabe habe ich gelöst, und zwar so:
24-Y=X S(x)=X^2+Y^2 =(24-Y)^2+Y^2 =2(y^2+2x12xY+288) =2(y^2+2x12xY+12^2-12^2+288) =2[(Y+12)^2-144+288) =2(Y+12)^2+288
Daraus ergibt sich, dass X 12 und damit Y auch 12 ist. Die Summe der beiden Quadrate ist 288.
Jetzt meine Frage: Wie berechne ich dieses Extremwertproblem, wenn die größte Summe der Quadrate verlangt wird?
Danke im Voraus für Antworten.
5 Antworten
Quadrate der Summanden bei einem Produkt? Sollst du es in eine SUMME oder ein PRODUKT zerlegen?
Okay. Und die Summe der Quadrate der zwei jeweiligen Summanden soll möglichst klein oder groß sein?
In der Aufgabe möglichst klein, aber in meiner Frage möglichst groß.
Die Lösung der kleinsten Summe ist richtig. Bei der größten Summe musst du schauen, dass |x-12| möglichst groß wird (Voraussetzung: keine negativen Summanden). Das ist der Fall für x=24 oder x=0. Also 0²+24²=576
Danke, aber warum |x-12|?
Kann man das nicht genauso berechnen wie ich es mit der kleinsten Summe gerechnet habe?
Ehrlich gesagt verstehe ich deine Art zu rechnen nicht so ganz. Ich zeig dir, wie ich es gemacht habe.
x+y = 24
y = 24 - x
f(x,y) = x² + y²
f(x) = x² + (24-x)²
f(x) = 2x² - 48x + 576
f'(x) = 4x - 48
Extrempunkt (f'(x) = 0) für x = 12), also ist für x = 12 (daraus folgt y = 12) die Summe der Quadrate am kleinsten.
So.
Und jetzt musst du den Wert der Summanden für die größte Summe herausfinden. Dazu brauchst du den größtmöglichen Summanden, also die Differenz zwischen kleinstmöglichem und größtmöglichem Summanden, deswegen |x-12|. Und der Betrag deshalb, weil keine negativen Summanden benutzt werden dürfen.
Danke. Aber der größtmöglichste Summand ist doch 24, oder nicht?
Schon die Faktoren 1, 2, 3, 4 ergeben als Summe der Quadrate mal eben 30. Iwie hast du dich da vergaloppiert.
Es muss eigentlich heißen: "Zerlege 24 so in zwei Summanden, sodass die Summe der Quadrate (der Summanden) am kleinsten bzw. in meiner Frage am größten wird.
Wenn die Größte Summe verlangt wird, zerteilst du es in 24 und 0. Wenn negative Zahlen erlaubt sind, gibt es keine Lösung.
Du machst einen kleinen Vorzeichen Fehler, so sollte die letzte Zeile eigentlich
2(Y-12)^2+288
sein. Diese Funktion steigt an, je grösser y wird, da aber Y höchstens 24 sein kann ist dies dann das Maximum. (oder wenn y möglichst klein wird).
Hast du schon Ableitungen gehabt? Wenn ja, so gilt ja bekannterweise immer, dass die Extrema entweder am Rand oder bei den Nullstellen der Ableitung auftauchen. Deine Extrema hier sind also 12 (Nullstelle der Ableitung), dies gibt das Minimum und 0 resp 24, wobei dies die gleiche Lösung ist. Dies ergibt dann das Maximum.
Leider noch nicht. Ich weiß zwar, das das dann einfacher gehen wird, habe es leider noch nicht gelernt.
Du hast das Maximale berechnet, überleg doch mal, 6 mal 4 ist 24. 6^2+4^2=52 und viel kleiner als deine 288
Wobei, 24 mal 1 wäre im Quadrat noch mehr, also du hast iwas berechnet, keine Ahnung was :D
Ich habe mich vertan, nicht das Produkt, sondern die Summe.
Entschuldigung, in eine Summe, also 2 Summanden, natürlich