Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen?
Moin zusammen,
Ich habe hier eine Frage zu dem Thema Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen. Dieses Thema haben wir erst diese Stunde angefangen und verstehe die Aufgabe nicht so recht diese Lautet:
Zerlegen Sie die Zahl 12 so in zwei Summanden, dass
a) das Produkt der Summanden möglichst groß wird,
b) die Summe der Quadrate der Summanden möglichst klein wird.
Mir ist klar: Das man bei a) ein Hochpunkt und bei b) ein Tiefpunkt berechnen muss. Ebenfalls ist mir klar, dass ein Produkt das Ergebnis einer Multiplikation Rechnung ist und ein Summand eine Zahl ist die man hinzu addiert. Jedoch ist mir alles andere ein Rätsel. Hilfe wäre gut :)
3 Antworten
Bei Extremwertaufgaben liefert die gesuchte Größe immer die Hauptgleichung (Hauptbedingung)
Die Hauptgleichung hat mindestens 2 Unbekannte,je nach Aufgabe und somit muss dann mindestens 1 Unbekannte durch eine Nebengleichung (Nebenbedingung) ersetzt werden.
Merke:Für jede Unbekannte braucht man eine Gleichung,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.
Man erhält dann eine Gleichung → Funktion der Form y=f(x)=... und man muss dann eine Kurvendiskussion durchführen → Extrema bestimmen
1) P=a*b
2) 12=a+b → b=12-a
2) in 1)
P(a)=a*(12-a)=12*a-1*a²
P(a)=-1*x²+12*a ableiten
P´(a)=m=0=-2*a+12 → Nullstelle a=12/2=6
P´´a)=-2<0 → Maximum
also a=6 und b=6 P=6*6=36
1) S=a²+b²
2) 12=a+b → b=12-a
2) in 1)
S(a)=a²+(12-a)² → binomische Formel (x-b)²=x²-2*b*x+b²
S(a)=a²+(12²-2*a*12+a²)=a²+144-24*a+a²
S(a)=2*a²-24*a+144
S´(a)=m=0=4*a-24 → Nullstelle a=24/4=6
S´´(a)=4>0 → Minimum
Schreibe zunächst das Optimierungsproblem mit Zielfunktion und Nebenbedingungen auf. Hier folgt:
max f(x,y) = x*y
N.B.: x + y = 12
Gesucht sind somit zwei Zahlen x und y, die f(x,y) maximieren und dabei die Nebenbedingung x+y=12 erfüllen. Für Optimierungsprobleme mit Gleichheitsnebenbedingugen besteht ein einfacher Ansatz zur Verringerung der Anzahl an Unbekannten in der Umformung der Nebenbedingung, sodass wir hier einen Ausdruck y = h(x) bekommen. Umstellen liefert bspw.:
y = 12 - x
sodass durch Einsetzen in die Kostenfunktion als neues (unbeschränktes) Optimierungsproblem
max f(x, 12 - x) = x*(12 - x)
folgt. Die Bestimmung des Maximums ist dann mit den üblichen Ansätzen f'(x) = 0 und f''(x) < 0 möglich. So folgt hier bspw.:
Notwendige Bed.: 12 - 2x = 0 --> x = 6
Hinreichende Bed.: -2 < 0 --> Hochpunkt
Insgesamt erhalten wir somit als Maximum für das Produkt: 6*(12-6) = 36 und die zugehörigen Zahlen entsprechen x = 6 und y = 12 - x = 6. Für das andere Problem kannst du auf gleiche Weise vorgehen.
die eine Zahl heißt x
und die andere
12-x
das Produkt ist dann
x • (12-x)
jetzt Klammer lösen und Scheitelpunkt bestimmen
oder ableiten und gleich 0 setzen, um Hochpunkt zu bestimmen.