Explizite und Rekursive Formel, Mathe?
Kann mir jemand bei Aufgabe 6 helfen?
Wir haben das Thema neu in der Schule und ich habe es noch nicht wirklich verstanden...
Dankeschön 😊
3 Antworten
und ich habe es noch nicht wirklich verstanden...
Dann versuche ich mal, das Prinzip einer Folge zu erklären.
Am Anfang steht das n. n nimmt man, weil das von N = Menge der natürlichen Zahlen kommt.
n läuft also bei 1 los, danach kommt 2, 3 , 4 etc. Man muss also nur zählen können.
mit n = 1 erhält man das erste Glied der Folge, mit n = 2 das zweite, mit n = 3 das dritte etc.
Nun noch der Unterschied zwischen einer explizieten und einer rekursiven Bildungsvorschrift für die Folge.
Bei einer explizieten Bildungsvorschrift setzt man einfach n ein und als Ergebnis muss dann das geforderte Glied herauskommmen. Man kann das auch als "absolute" Berechnungsvorschrift verstehen. Man muss einfach nur n einsetzen und das dazu passende Glied kann ausgerechnet werden. Dazu braucht man nicht zu wissen, wie das vorhergehende oder auch das folgende Glied lautet.
"Rekursiv" bedeutet auf Deutsch "rückbezüglich". Das bedeutet, das folgende Glied kann man nur ausrechnen, wenn man das vorhergehende Glied kennt. Hier braucht man also eine Bildungsvorschrift, bei der man nicht einfach nur ein beliebiges n einsetzt, um das zugehörige Glied zu berechnen, sondern man braucht eine Rechenvorschrift die angibt, wie man vom vorhergehenden zum nächsten Glied kommt. Das wäre sozusagen eine "relative" Billdungsvorschrift.
Zuerst muss man mehr oder weniger durch Ausprobieren und Intuition erkennen, wie die Folge überhaupt aufgebaut ist. Direkt berechnen kann man da nichts. Im zweiten Schritt kann man dann versuchen, das erkannte Prinzip in eine Formel zu schreiben. Diese muss mann dann testen, ob sie auch für alle Glieder funktioniert. Wenn man rausgekriegt hat, nach welchem Prinzip die Folge fortschreitet, ist die Betrachtung des 1. Gleides entscheidend, also für n = 1, denn das ist dann eine wesentliche Hilfe dabei, die Formel aufzustelllen.
Nehmen wir also mal 6a)
Wir erkennen: es handelt sich um eine Folge von Brüchen, bei der im Zähler immmer -1 steht, bei der der Nenner aber immer um 1 größer wird. Der Fortschritt des Nenners erfolgt also immer demselben Anstand wie der Abstand von einem n zum nächsten ist, nämlich = 1
Zuerst suchen wir die expliziete Billdungsvorschrift, denn die ist meistens viel einfacher als die rekursive zu finden.
Auf jeden Fall bleibt konstant, dass im Zähler immer- 1 steht. Also lautet die Bildungsvorschrift schon mal:
a_n = -1 / (irgendwas)
Das "irgendwas" ist immer um 1 größer als n. Also probieren wir mal aus:
a_n = -1 / (n + 1) und testen das am letzten, dem 5. Glied.
Für das 5. Glied ist n = 5 und das setzen wir ein:
a_5 = -1 / (5 + 1) = -1/6
...stimmt, also haben wir die explizite Formel schon gefunden:
a_n = -1 / (n + 1)
Nun suchen wir die rekursive Formel. Das ist meistens komplizerter, da man da oft um die Ecke denken muss.
Dabei muss sich a_(n+1) aus a_n herleiten lassen.
Für n = 1 ergibt sich:
a_1 = -1/2
für n = 2 ergibt sich:
a_2 = -1/3
Die Frage ist jetzt, wie kommt man von a_1 auf a_2. Bei a_2 steht 3 im Nenner, und das müssen wir aus -1/2 heraus bilden. Wir müssen also aus -1/2 eine 2 machen und dazu dann 1 addieren, um auf die 3 zu kommen.
Um aus -1/2 eine zwei zu machen, müssen wir den Kehrwert bilden und ein Minus davor setzen. Versuch:
a_(n+1) = -1/ ((-1/a_n) + 1)
Test:
a_4 = -1/5
einsetzen in a_5:
a_5 = -1 / (-1/(-1/5) + 1)
Zwischenrechnung:
-1/(-1/5) = -1 * -5 = 5
oben einsetzen:
a_5 = -1 / (5 + 1) = -1/6
Das stimmt, siehe Aufgabe.
Also lautet die rekursive Formel:
a_(n+1) = -1/ ((-1/a_n) + 1)
- Explizite Definition
Man definiert eine Folge explizit, indem man eine Formel angibt, aus der ein bestimmtes Glied (an) sofort berechnet werden kann. Beispiel:
a n = 2 n-1×5
Wie gesagt, mit einer expliziten Formel kann man z.B. das 5. Glied sofort berechnen:
a 5 = 2 5-1×5 = 16×5 = 80
- Rekursive Definition
Bei der rekursiven Definition gibt man das erste Glied Folge an (a1), sowie zweitens eine Formel, mit der man aus einem beliebigen Glied (an) das nachfolgende Glied (an+1) berechnen kann.
Beispiel:
a 1=5 → a n+1=2×a n
Aufgrund dieser beiden Angaben kann man alle Glieder der Folge bestimmen:
a 1 = 5
a 2 = 2×5 = 10
a 3 = 2×10 = 20
a 4 = 2×20 = 40
a 5 = 2×40 = 80
→ Quelle
Bei Beispiel c) habe sehe ich auf Anblick:
a 1=1
a n+1=2a n+1 → a 2=2×1+1 = 3
Hallo Sophie,
erkennst du denn ein System, nach dem die Zahlen in der a) gebildet sind?
Das ist eine super gute Frage! Der Witz ist, dass man das für jedes n so schreiben kann. Unsere Folgenglieder sind ja
a(1) = -2 ist das erste (deshalb a(1))
a(2) = -3 ist das zweite
a(3) = -4
usw.
Und jetzt können wir irgendeins wählen, zum Beispiel das dritte, also für n=3, es steht dann da:
a(3) = a(2) + (-1)
Eingesetzt:
-3 = -2 + (-1) --- passt!
Unsere Formel
a(n) = a(n-1) + (-1)
ist nun für jedes n anwendbar.
Macht das irgendeinen Sinn?
Dankeschön, soll "/" ein Bruchstrich darstellen?