Existiert das Minimum im metrischen Raum?
Es seien (M, d) ein metrischer Raum, A ⊆ M kompakt und x ∈ M.
Warum existiert das folgende Minimum?
d(x,A) := min{d(x,a) | a ∈ A}
Es gilt ja das Kompakta ihre Maxima und Minima enthalten. Habt ihr vielleicht eine Idee ? Danke im Voraus:)
2 Antworten
Das Infimum existiert jedenfalls, wie schon von DerRoll bemerkt, nennen wir es d0.
Konstruiere eine Folge an von Elementen aus A mit d(x,an) < d0 + 1/n. Diese Folge hat n.V. eine konvergente Teilfolge, deren Grenzwert a in A liegt. Das ist der Kandidat für d(x,a) = d0.
Zunächst ist die (reelle) Menge {d(x,a) | a ∈ A} offensichtlich nach unten beschränkt (warum?), sie hat also ein Infimum. Zeige nun unter Ausnutzung der Kompaktheit, dass dieses Infimum tatsächlich angenommen wird.
Das sagt nur etwas über A aus, nicht über die Menge der Metriken. Welche Eigenschaft hat denn so eine Metrik?
Dankeschön. Ich denke beschränkt, weil Kompaktheit setzt abgeschlossen und beschränkt schon voraus.