Existens von integrierbarer Funktion?
Ich verstehe bei diesem Beweis nicht, woher die Existens so einer integrierbaren Funktion h_n(x) sichergestellt ist.
Zur Notation im Buch: f(•,x) bedeutet, dass die Aussage für alle • bei fixem x gilt. Hier ist • = t.
Wieso lässt sich zu jedem t_n so eine integrierbare Funktion finden?
Hier unten noch Lebegue'sche Konvergenzsatz.
1 Antwort
Gute Frage, so langsam beginne ich dein Buch zu lieben :-) Meiner Meinung nach hat man vergessen, die Voraussetzung hinzuschreiben, dass f( t, . ) integrierbar sein muss (also stetig im ersten Argument, integrierbar im zweiten). Sonst kann man noch nicht mal das Integral hinschreiben. Folgender Link unterstützt mich: https://de.wikipedia.org/wiki/Parameterintegral#Stetigkeit_von_Parameterintegralen
Im Beweis wird behauptet, dass h_n(x) integrierbar sei, da redet man noch gar nicht von f(). Und für die Folge der h_n will man mit der majorisierten Konvergenz argumentieren, für die - wie du richtig sagst - eine Folge integrierbarer Funktionen vorausgesetzt wird.
Im Beweis wird behauptet, dass h_n(x) integrierbar sei, da redet man noch gar nicht von f()
Ich weiß. Ich habe es nur nochmal erwähnt, weil du in deiner Antwort geschrieben hast, dass es vorausgesetzt sein müsste
Meiner Meinung nach hat man vergessen, die Voraussetzung hinzuschreiben, dass f( t, . ) integrierbar sein muss
Genau, G ist noch nicht mal definiert, wenn Integrierbarkeit von f im zweiten Argument nicht gegeben ist.
Gut, dann ist mir jetzt alles klar. Danke :)
Oder kann es sein, dass die Existens des Integrals vorausgesetzt wird (für alle t aus [a,b]), da sonst die Funktion G gar nicht definiert.
Genau, G ist noch nicht mal definiert, wenn Integrierbarkeit von f im zweiten Argument nicht gegeben ist.
Also mag sein, dass ich mich da jetzt vertue, aber diese Bedingung ist eine Folge aus dem Lebegue'schen Konvergenzsatz.
Der besagt ja, dass wenn f der Grenzwert einer Folge (f_n) ist, wobei die f_n integrierbar sind und (fast überall) punktweise gegen f konvergieren, f dann integrierbar ist, wenn es eine integrierbare Funktion g gibt, für die (fast überall) |f_n| ≤ g gilt.
In dem Beweis ist das die Folge (h_n).
h_n(x) konvergiert punktweise gegen f(t,x). Wegen der vorausgesetzen Funktion g ist f(t,x) also integrierbar.
Für den Fall, dass du zuerst so dachtest wie ich, dass f(t,x) genau dann integrierbar ist, wenn es h_n(x) ist, da sich h_n nur im ersten Argmuent verändert: Der Parameter t hat im Allgemeinen auch einen Einfluss auf die integrierbarkeit, z.B. bei f(x,t)=1/x^t.
Was mich hier eben irritiert, ist, dass im Beweis (richtiger Weise) vorausgesetzt wird, dass h_n integrierbar ist, jedoch im Satz nicht als Voraussetzung erwähnt wird.