Euler'sche Zahl Erklärung?

3 Antworten

Hey,

ich besuche den Leistungskurs Mathematik und wir haben uns genau mit dieser Frage beschäftigt. es wird allerdings relativ schwierig, dir das einfach zu ekrlären, da du ziemlich viel Vorwissen über Ableitungen brauchst...ich versuche es trotzdem. Erstmal: Die eulersche Zahl hat etwa den Wert.

e = 2,718281828459045235460287471352662...
Mehr weiß ich nicht aus dem Kopf :D

Erstmal muss ich dir das unbeschränkte (= exponentielle) Wachstum erklären.

Die einfachste Exponentialfunktion hat die Form

f(x) = b^x,

wobei b der Wachstumsfaktor ist.

Will man dies nun ableiten, hat man den Differenzenquotienten zur Verfügung. Den wenden wir hier mal an:

f'(x)

= lim h->0   ( f(x+h)-f(x) ) / h

= lim h->0   ( b^(x+h) - b^x ) / h

= lim h->0 b^x * ( b^h - 1 ) / h

Nun suchen wir das b, für das gilt:

f'(x) = f(x)

Also tun wir das mal:

lim h->0  b^x * ( b^h - 1 ) / h = b^x

Nun ist die Überlegung folgende: Wir suchen ja eine Ableitungsfunktion, deren Ableitung gleich der Funktion ist. Und das ist genau dann der Fall, wenn gilt:

( b^h - 1) / h = 1

Nun multiplizieren wir mit h:

b^h -1 = h

Nun 1 auf beiden Seiten addieren:

b^h = h +1

Wurzel ziehen:

b = h-te Wurzel (h+1)

Nun lassen wir h gegen Null laufen, dazu nehmen wir uns eine ganz kleine Zahl:

h sei mal 0,0000001, dann haben wir

b = 2,718281693

h machen wir nun noch kleiner:

h = 0,00000000001

=> b = 2,718281828...

Dieser Wert ist schon ziemlich genau. Wenn du das Spiel mit kleineren Zahlen für h fortführst, wirst du feststellen, dass sich nicht mehr viel ändert. Damit wissen wir also:

b = e,

und das ist eben die oben genannte Zahl. Die Zahl erfüllt eben genau die Bedingung, dass f(x) = f'(x), also

(e^x)' = e^x

Hier noch ein hilfreiches Video dazu:

http://videounterricht.de/eulersche-zahl-e-herleitung-mit-differenzenquotient-e-funktion-mathehilfe-online/

Vielleicht konnte ich ja helfen, bei Fragen melde dich :)

LG

Sehr gute Ausführung, allerdings funktioniert das Finden von e auf deine Weise nicht sehr gut, da du für nicht-ganzzahlige Wurzeln bereits die Exponentialfunktion (bzw Logarithmusfunktion) brauchst, du drehst dich also etwas im Kreis.

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@Roach5

Und vermutlich Zahlentyp double , also maximal 15 Stellen. Da kann man auch gleich exp(1) eingeben.

Selbst mit sehr schnellen Rechnern, die mit 1 Mio. Stellen schnell rechnen können, sind damit kaum mehr als 10000 Stellen machbar.

Bitte nicht als "meckern" verstehen. Ziel ist es ja, einen Algorithmus zu finden, der mit wenig Rechnerei viel Stellen schafft.

y-cruncher schafft mit der Taylor-Summe 1 Mrd. Stellen in weniger als 4 min auf einem einfachen  i7 PC.

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danke für die ausführliche Erklärung :) werde mir das mal genau angucken

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Um es "verständlicher" erklären zu können, müssen wir erst mal wissen, was Du verstanden hast, und was nicht...

Nach Pi=A000796 ist e=A001113 einer der wichtigsten irrationalen Konstanten in allen Wissenschaften!

In http://www.gerdlamprecht.de/Eulersche_Zahl_A001113.html

findet man zig Algorithmen (Rechenwege, Bildungsvorschriften, Formeln) wo als Ergebnis immer wieder diese Konstante mit ihren unendlich vielen Nachkommastellen auftaucht: egal ob Potenzen, Iterationen, unendliche Summen, Kettenbrüche, Grenzwerte, unendliche Produkte ... 

Viele Schüler denken beim Potenzieren immer nur "n mal mit sich selbst multiplizieren" -> aber das ist ein primitiver Sonderfall für ganze positive n

Das Potenzieren für alle Zahlenbereiche funktioniert über die Exponentialfunktion "e hoch x":

x^y = e^(log(x)*y) = exp(log(x)*y)

Dein Taschenrechner verwendet nur Näherungsformeln! Wenn Du 1.3 hoch 0.7 genauer berechnen willst, sieht das so aus:

1.3^0.7
=e^(log(1.3)*0.7)
=e^(0.2623642644674910520354959868809543972*0.7)
=e^(0.18365498512724373642484719081666807804291651929)
=e^x mit x=0.183....

Der Taschenrechner kann 2.718281828459^0.1836549851
nur auf wenige Stellen berechnen. Genauer geht es über die unendliche Summe:

=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+...
wobei die Nenner per Fakultät berechnet werden:
2! = 1*2=2
3! = 1*2*3=6

4!=24
n! = 1*2*...*n=(n-1)!*n
e^x=1.20160118129295246963827877910250397140471627448...

Wenn Du für x=1 nimmst, hast Du e beliebig genau (natürlich nur, wenn Du die Zwischenergebnisse auch genau berechnest).

Interessant: (1+9^(–4^(7*6)))^3^2^85

stimmt mit e auf extrem viele Stellen (mehr als Atome im Weltall!) überein. Jedoch kann kein Taschenrechner mit solch extremen Zwischenergebnissen rechnen.

Oder §7 Grenzwert:
Wenn man e auf 37 Stellen berechnen will:
(1+1/10^37)^(10^37) bedeutet:
1.0000000000000000000000000000000000001
muss 10000000000000000000000000000000000000
mal mit sich selbst multipliziert werden
(Zwischenergebnisse jedoch auf über 50 Stellen nötig!)
Also total umständlich und selbst für Computer sehr langsam!

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@hypergerd

Ach ich sehe gerade, dass Du Dein Geburtstag angegeben hast:
12011999 ist unendlich oft in e zu finden:
Position: 130254220, 249372325, 272156202, 324820574, 549952999, 615012182, ...
199152511541, 199258826192, 199496256785, 199569578221, 199785561951,...
955777694081, ...

22500 Stellen von e in einem 3D-Gebirgs-Diagramm kann man sich hier ansehen:
http://www.gerdlamprecht.de/MathematischeKonstanten3D.html

Nun etwas von dieser Konstante begeistert?

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vielen vielen dank für die Erklärung :)

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e, die Eulersche Zahl, ist folgendermaßen definiert:

e ist die Summe von 1/k!, wobei k bei 0 anfängt und gegen Unendlich strebt.

e lässt sich außerdem so berechnen: lim n-->∞ (1+(1/n))^n

Das Besondere an der eulerschen Zahl e ist, dass wenn sie ein x im Exponenten hat, abgeleitet wieder sich selbst ergibt.

(e^x)'=e^x

Sie ist außerdem die Basis des natürlichen Logarithmus ln (ln(e)=1).



danke :)

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