Ermitteln der Punkt- und Achsensymmetrie?
Dieser Schritt um die Symmetrie zu ermitteln dauert viel zu lange. Kennt ihr schnellere Wege?
3 Antworten
Das sind die Zauberformeln
und nein es geht nicht rasanter , es sei denn man kennt die Erweiterung der binomischen Formel auf (a+b)³ mit den Koeffizienten 1 3 3 1
1a³ + 3a²b + 3ab² + b³............erkennst du die Regel ?
Klar gibt es einen schnelleren Weg. Zunächst ist deine Antwort falsch. Die Funktion ist weder Achs- noch Punktsymmetrisch. Eine ganzrationale Funktion ist punktsymmetrisch wenn sie nur ungerade Potenzen enthält, sie ist achssymmetrisch wenn sie nur gerade Potenzen enthält. Beachte x = x^1 und x^0 = 1.
Nachtrag, ich sehe gerade Punktsymmetrie bezogen auf einen anderen Punkt als (0, 0). Nein, da gibt es keinen besseren Weg.
Zudem lässt sich das formal beweisen als
Bedingung für Achsensymetrie: f(x) = f(-x) also Spiegelung an der y-Achse. Dafür einfach einsetzen und wenn die Bedingung erfüllt ist liegt die Achsensymetrie vor.
Für Punktsymetrie gilt dann: f(x) = -f(-x)
Edit: Habe gerade das gleiche gesehen wie DerRoll bzgl der Verschiebung des Spiegelpunktes. Das obige gilt trotzdem, jedoch nur für den Ursprung
Es geht auch mit Koeffizientenvergleich.
Wenn man das einmal komplett durchrechnet, ist es nicht einfacher.
Ausgangspunkt ist die Symmetrie:
Da die höchste Potenz ungerade ist, kann die Funktion - wenn überhaupt - nur punktsymmetrisch sein. Wenn wir den Symmetriepunkt (x0,y0) nennen:
f(x0+x') - y0 = y0 - f(x0-x')
Einsetzen der Funktionsgleichung von f, ausmultiplizieren, alles auf eine Seite bringen, nach Koeffizienten von x' sortieren:
0 = x'^3 (1 - 1)
+ x'^2 (3 x0 + 3 + 3 x0 + 3)
+ x' (3 x0^2 + 6 x0 - 3 x0^2 - 6 x0)
+ (-y0) - y0 + (x0^3 + 3 x0^2 + x0^3 + 3 x0^2)
Wie man sieht, fallen die Koeffizienten der ungeraden Potenzen von allein heraus. Bleiben noch 2 Gleichungen für x0 und y0.
Aber wenn du dir die Sache genauer anschaust, siehst du, dass die Koeffizienten eigentlich nur verdoppelt werden bzw. sich gegenseitig aufheben.
Damit reicht es, x0 und y0 so zu bestimmen, dass die geraden Koeffizienten von
f(x0 + x') - y0
herausfallen, das ist etwas weniger Rechnerei, aber nicht so viel weniger.
Was hast du in der Rechnung vom ersten Schritt zum zweiten gemacht? Von wo kommen die beiden 1?
Ich habe x0 + x' bzw. x0 - x' in den Funktionsterm von f eingesetzt, ausmultipliziert und nach Potenzen von x' geordnet und zusemmengefasst.
Weiter habe ich definiert:
f+(x') := f(x0 + x')
f-(x') := f(x0 - x')
Dann steht da
f+(x') = x'^3 + ...
f-(x') = x'^3 + ...
bzw. mit explizitem Koeffizienten
f+(x) = 1 * x'^3 + ...
f-(x) = 1 * x'^3 + ...
Diese beiden Koeffizienten 1 von f+ und 1 von f- stehen im Faktor von x'^3.
Die Zauberformel hat mir sehr geholfen, aber bei dem Rest muss ich noch grübeln.