Erkennen, ob ich einen Bruch kürzen kann?
Wie kann man mithilfe der Primfaktorzerlegung erkennen, ob sich ein Bruch kürzen lässt?
Beispiel: Der Bruch 42/63
Wenn ich diese in Primfaktoren zerlege, kommt folgendes heraus:
42 = 2 * 7 * 3
63 = 3 * 7 * 3
Nächster Schritt: Die gleichen Primfaktoren in Nenner und Zähler wegstreichen.
42 = 2
63 = 3
Soll ich jetzt die Primfaktoren multiplizieren und ist das Ergebnis aus dieser Multiplikation die Zahl, mit der ich Zähler und Nenner kürzen muss, oder wie geht es dann weiter?
Weil ich dachte immer, dass, wenn man einen Bruch kürzen möchte, genauso wie beim Erweitern, dass man den Zähler und Nenner immer mit der selben Zahl kürzen muss, ist das falsch?
4 Antworten
Zunächst: 42 = 2 und 63 = 3 ist mathematischer Unsinn, auch, wenn ich verstehe, was du meinst.
also:
42/63 = (2 * 3 * 7) / (3 * 3 *7)
nun "streichst " du im Zähler und im Nenner je eine 3 und eine 7 weg (DAS NENNT MAN KÜRZEN)
du hast also nun eine 3 und eine 7 gekürzt (gesamt also 3*7 = 21)
Weil ich dachte immer, dass, wenn man einen Bruch kürzen möchte, genauso wie beim Erweitern, dass man den Zähler und Nenner immer mit der selben Zahl kürzen muss,
genau so ist es und das macht man hier auch
ja, das ist korrekt.
du kannst dir das Multiplizieren aber auch sparen und die Faktoren einzeln kürzen. (in deinem Beispiel eben zuerst die 3 und dann die 7). Das kommt aufs gleiche Raus.
In der Praxis (also wenn es nicht darum geht, wie hier an dem Beispiel zu demonstrieren, wie es formal geht), wird man etwa, wenn man feststellt, dass Nenner und Zähler gerade sind, zunächst mal die Zahl 2 kürzen und dann weiter sehen.
Noch eine Ergänzung:
Nehmen wir an, du hättest 84/189
das wären ja (2 * 2 *3 * 7) /(3 * 3 * 3 * 7)
du kürzt die 3 und die 7 und es bleibt (2 * 2) / (3 * 3)
diese verbleibenden Faktoren solltest du wieder multiplizieren zu 4/9
(2 * 2) / (3 * 3) ist nicht falsch, aber dein Lehrer mag es vielleicht nicht ...
Wenn du Brüche kürzen willst, wirst du kaum mal soviel Zeit haben. wie du für Primzahlzerlegung brauchst.
Aber man kann ja auch erst mal kleinere Zahlen herauskürzen, und zwar aus Zähler und Nenner. Das geht schneller, und du hast dann kleinere Zahlen übrig.
Dafür brauchst du allerdings die Teilbarkeitsregeln; aber die hat man ja auch einmal gelernt:
durch 2 teilbar, wenn letzte Ziffern gerade;
durch 3 teilbar, wenn Quersummen durch 3 teilbar,
durch 4 teilbar, wenn letzte 2 Ziffern durch 4 teilbar,
... ...
Hast du die drauf?
Hat man dann Zähler und Nenner verkleinert, fällt der nächste Schritt schon leichter aus; oder man sieht, dass nichts mehr zu kürzen geht.
Stimmt. Und wenn die letzte Stelle 0 oder 5 ist, dann kann man die Zahl durch 5 teilen. So haben wir das auch gelernt.
Sowie die Kombinationen für multiplizierte Zahlen:
durch 6 teilbar, wenn durch 2 und durch 3
oder
durch 15, wenn durch 3 und durch 5.
Natürlich kürzt ( oder erweitert ) man mit derselben Zahl .
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man kann nacheinander kürzen
erst mit der 3 ,dann mit der 7 ( oder umgekehrt ) oder gleich mit 3*7 = 21.
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Die Primfaktorenzerlegung macht nur alles klar und deutlich .
Nicht jeder erkennt hier z.B ,dass man mit 21 kürzen kann .
.
Nein, du bist doch schon fertig.
Das Ergebnis ist 2/3.
Nochmal kurz für mein eigenes Verständnis, damit ich mir das als Lerneinheit aufschreiben kann: Wenn bei einer Primfaktorenzerlegung im Nenner sowohl als auch im Zähler gleiche Primfaktoren auftauchen, multipliziere ich diese (also nur einmal natürlich!) und teile den Nenner und den Zähler mit dem Ergebnis der Multiplikation, hier 21. Dann habe ich gekürzt. Habe ich das so richtig aufgefasst?