Eindeutigkeit und Aussagenlogik?
Ich hab eine Aufgabe zum Beweisen von zwei verschiedenen Aussagen bekommen, hab auch schon versucht sie zu lösen, bin mir allerdings unsicher, ob ich hier richtig liege oder evtl. etwas falsch an meinen Überlegungen ist.
Die Aufgaben lauten:
"a) Beweisen Sie: ∃! x ∈ Q : ∀y ∈ Q : x ⋅ y = y. Sie dürfen dafür Ihre Schulkenntnisse der Grundrechenarten in Q verwenden. Hinweis: Sie könnten zunächst zeigen, dass es ein x mit den gesuchten Eigenschaften gibt, und danach zeigen, dass keine andere als die von Ihnen gefundene Zahl die gesuchte Eigenschaft hat.
b) Gilt ∀y ∈ Q : ∃! x ∈ Q : x ⋅ y = y? Begründen Sie Ihre Antwort."
Meine Lösung bis jetzt wäre:
zu a) Es gibt genau eine rationale Zahl x, die diese Gleichung löst und zwar x = 1. Für y kann eine beliebige rationale Zahl gewählt werden, z.B. y = -5/3. Infolge des Einsetzens erhält man 1 * (-5/3) = -5/3, was y entspricht. Würde man z.B. für x = -1 wählen und mit y = -5/3 multiplizieren, ergibt sich 5/3, was nicht mehr y entspricht.
zu b) Die Gleichung gilt, da man für jede rationale Zahl y genau eine rationale Zahl x findet, sodass x*y=y gilt. Wie in a) veranschaulicht wäre das x=1.
Ich bin mir auch unsicher, ob a) und b) nicht dieselben Aussagen sind und dass nur die Quantoren vertauscht sind? Aber auch was meine Begründungen angeht, bin ich mir unsicher, ob diese ausreichend sind.
Ich würde mich freuen, wenn mir jmd helfen könnte :]
1 Antwort
b) ist falsch, denn wenn Du y=0 setzt, dann gibt es nicht nur 1 x sondern viele. Also stimmt das ∃! nicht für alle y ...
für a) hast Du x ⋅ y = y also x = y/y also x = 1 (für jedes y != 0)
