Wie kann ich das Beweisen?
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
1. Sei n eine ungerade natürliche Zahl. Dann ist n^1730 auch ungerade.
4 Antworten
Hallo,
nach dem binomischen Lehrsatz ist (a+b)^n gleich der Summe von k=0 bis k=n über
(n über k)*a^(n-k)*b^k.
Da n eine ungerade Zahl sein soll, kannst Du n durch den Ausdruck 2m+1 ersetzen und n^1730 ist demnach (2m+1)^1730.
Wenn Du nun den binomischen Lehrsatz für (a+b)^1730 anwendest, enstspricht a dem 2m und b der 1.
Du bekommst die Summe
1*(2m)^1730*1^0+1730*(2m)^1729*1^1+...+1730*2m)*1^1729+1^1730.
Die Potenzen von (2m) nehmen also von 1730 bis 0 ab, währdend die von 1 von 0 bis 1730 zunehmen.
In allen Summanden außer dem letzten kommt 2m als Faktor vor und kann ausgeklammert werden. Das ergibt (2m) mal eine große Zahl, zu der am Ende noch 1^1730, also 1 addiert wird.
2m mal eine große Zahl ist wegen der 2 als Faktor auf jeden Fall gerade und kann durch 2p ersetzt werden. Dazu wird noch die 1 addiert, was 2p+1, eine ungerade Zahl ergibt.
Herzliche Grüße,
Willy
Muss man das beweisen? Es ist doch offensichtlich. Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade. Das Produkt von 1730 (gleichen) ungeraden Zahlen ebenfalls.
Wenn's sein muss schließt du per vollst. Induktion auf ^3, ^4 usw.
(2n-1)^2 = 4n² - 4n + 1 = 2(2n²-2n) + 1 ist ungerade
Setze m := 2n²-2n
(2m+1)(2n-1) = 4mn +2n - 2m -1 = 2(2mn+n-m) - 1 ist ungerade
usw.
Wenn ich sonstwieviele Zahlen, in deren Primfaktorzerlegung die 2 nicht vorkommt, multipliziere, wo soll denn dann im Produkt die 2 herkommen?
Aber mit
In der Mathematik ist es wie bei einer Behörde
hast Du wirklich Recht.
(Ich bin Ingenieur, kein Mathematiker. Und sehe das deshalb etwas lockerer 😉)
Ich würde einfach auf (2k+1)^1730 den Binomischen Lehrsatz loslassen, dann siehst du, dass das Ergebnis auch ungerade ist.
Ich würde an deiner Stelle beweisen, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen ungerade ist und dann über Iteration gehen.
In der Mathematik ist es wie bei einer Behörde: Du mußt auch das Offensichtliche beweisen; bei der Behörde etwa durch das Vorzeigen der richtigen Papiere, daß Du überhaupt existierst. Da könnte ja sonst jeder kommen.