Wenn eine natürliche Zahl ungerade ist, dann kann ihr Quadrat auch gerade sein. Ist dieser Satz richtig?

8 Antworten

Wenn eine natürliche Zahl ungerade ist, dann kann ihr Quadrat auch gerade sein. Ist dieser Satz richtig?

Nein. Wenn n∈ℕ prim ist, enthält n² nur n als Primfaktor, wenn auch doppelt. Ist n nicht prim, so lässt sie sich in Primfaktoren zerlegen:

n = ∏ₖ nₖ, nₖ∈ℕ und nₖ prim.

Die Zahl n² enthält genau dieselben Primfaktoren wie n, nur halt je zwei mal, aber die 2 selbst taucht unter diesen Faktoren nur dann auf, wenn n bereits grade ist. In dem Fall ist auch ½n² noch gerade, d.h.

¼n² ∈ ℕ,

da n² den Faktor 2 mindestens doppelt enthält.

Ist n ungerade, so enthält sie auch nicht den Faktor 2, und n² auch nicht.

Nein

Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten des Beweises:

1) UNgerade heißt, es gibt eine Darstellung der Form 2n+1, dann ist das Quadrat aber (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1, also auch eine ungerade Zahl


2) Ungerade heißt, x = 1 (mod2), dann gilt aber auch x^2 = 1^2 = 1 mod 2, also auch ungerade


3) Bei einer ungeraden Zahl x taucht keine 2 in der Primfaktorzerlegung auf, diese kann bei x * x aber auch nicht plötzlich auftauchen, denn auch das zweite x hat keine 2 in der Primfaktorzerlegung

Das sind 3 mögliche Beweise



Nö, es gilt nur die Endziffern zu betrachten

1 → 1
3 → 9
5 → 5
7 → 9
9 → 1

Reicht völlig aus.

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