Wenn das Quadrat einer natürlichen Zahl ungerade ist, dann muss auch die Zahl ungerade sei. Ist dieser Satz richtig?

Ist richtig

Beweis: 

Es sei q eine ungerade Quadratzahl. Das heisst es gibt eine natürliche Zahl p  mit p^2 = q

Angenommen q wäre gerade, dann gäbe es eine natürliche Zahl s mit q = 2s. Dann wäre p = q²2 = (2s)² = 4 s², also wäre p durch 4 teilbar und damit auch durch 2, also wäre q gerade. Das ist ein Widerspruch.

Also muss q ungerade sein. 

Ja, dieser Satz ist richtig. 
Denn wenn du eine gerade Zahl mit sich selbst multiplizierst, kann ja nur eine gerade Zahl heraus kommen. 
Anders herum muss auch, wenn du eine ungerade Zahl mit einer ungeraden Zahl multiplizierst eine ungerade herauskommen, da du ja eine ungerade Anzahl von malen eine ungerade Zahl hast. 

Ja. Tipp: Primfaktoren.