Beweis des euklid?
Wir sollten in mathe durch den beweis des euklid beweisen das wurzel aus 8 keine rationale zahl ist, ich weiß nur nicht Ganz wie
Hoffe irgendwer kann mir dabei Helfen
1 Antwort
Annahme s mit s² = 8 sei eine rationale Zahl, also durch teilerfremde (ganzen) Zahlen p und q mit s = p/q darstellbar.
s = p/q => s² = 8 = p²/q².
8 q² = p² => p² ist durch 8 teilbar => p ist durch 8 teilbar (durchs quadrieren kommen keine neuen Primfaktoren hinzu).
p ist darstellbar als 8 r, also 8 q² = (8 r)².
8 q² = 64 r² <=> q² = 8 r² => q² ist durch 8 teilbar => q ist durch 8 teilbar.
Insgesamt p und q beide durch 8 teilbar, was aber wegen der Annahme (Teilerfremdheit) nicht sein kann => Widerspruch => s ist nicht rational.
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Oder wie im Buch 1:1 übertagen
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s mit s² = 8 ist keine rationale Zahl.
Beweis nach Euklid
(1) Annahme: s = p / q mit teilerfremden Zahlen p und q
(2) s² = 8 = p² / q²
(3) 8 q² = p²
(4) p² ist durch 8 teilbar.
(5) p ist durch 8 teilbar. Setze p = 8 r in (3) ein.
(6) 8 q² = (8 r)² = 64 r² |:8
(7) q² = 8 r²
(8) q² ist durch 8 teilbar
(9) q ist durch 8 teilbar
Dies ist mit (5) ein Widerspruch zu (1).
