Ebene bestimmen mit bestimmtem Abstand zu gegebener Ebene?

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Hallo,

die Formel für den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen lautet:

d=|n*(Q-P)|/|n|

d ist der gesuchte Abstand, hier also 5.

n ist der Normalenvektor, der aus den Koeffizienten vor a, b und c besteht, also (3/0/-4) und |n| ist sein Betrag,
also die Wurzel aus (3²+0²+(-4)²)=5

Q ist ein Punkt auf der gesuchten Ebene, den wir berechnen müssen, P ist ein Punkt auf der gegebenen Ebene, dessen Koordinaten a, b und c die Ebenengleichung erfüllen müssen. Da b den Koeffizienten Null hat, kommt diese Variable hier natürlich nicht vor.

Am einfachsten ist es, für c einfach 0 einzusetzen und a zu berechnen:

3a-4*0=6

a=2.

Da b gleich Null ist und c auch, hat Punkt P die Koordinaten (2|0|0), die wir nun in die Gleichung einsetzen. Die 5 im Nenner bringen wir auf die andere Seite und für den noch unbekannten Punkt Q schreiben wir (x|y|z):

25=|(3/0/-4)*[(x/y/z)-(2/0/0)]|=|3*(x-2)-4z|=|3x-6-4z|

Die 6 können wir auf die andere Seite bringen und die Betragsstriche können wir weglassen, weil rechts ohnehin nur eine positive Zahl in Frage kommt: 31=3x-4z oder 3x-4z=31. Hier hast Du bereits die Gleichung der gesuchten Ebene.

Zur Probe bestimmen wir auch hier einen Punkt und setzen alles in die Formel ein, ob wir wirklich auf einen Abstand von 5 Einheiten kommen.

Der Punkt (1|0|-7) erfüllt zum Beispiel die Ebenengleichung, denn 
3*1-4*(-7)=3-(-28==3+28=31

Setzen wir diese Koordinaten als Punkt Q in die Gleichung ein:

(3/0/-4)*[(1|0|-7)-(2|0|0)]/5=[|(3/0/-4)*(-1/0/-7)|]/5=|(-3+28)|/5=25/5=5

Herzliche Grüße,

Willy

vielen Dank, das hat mir sehr geholfen!
Ich habe eine Beispielaufgabe, in der ich die Lösung in Normalform aufschreiben soll, soweit ich weiß ist das obige die Koordinatenform. Was unter der Normalform verstanden wird, wurde mir nicht definiert, allerdings glaube ich eigl. nicht, dass es um die NormalENform geht.. Könnte mit Normalform noch etwas anderes gemeint sein?

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@Sonnenblume282

Es soll wohl Normalenform heißen. Hierbei wird eine Geraden- oder Ebenengleichung mit Hilfe des Normaalenvektors n ausgedrückt.

Die Normalenform einer Geraden lautet: n*(x-p)=0.

x-p ist dabei die Gerade, also die Verbindung zwischen einem gegebenen Punkt und einem beliebigen Punkt auf der Geraden.

n*(x-p)=0 ist immer dann erfüllt, wenn die Gerade senkrecht auf dem Normalenvektor steht.

Eine Normalform gibt es bei Gleichungssystemen, wenn sie sortiert sind nach den Variablen x1, x2, x3...xn.

Willy

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@Willy1729

Es geht übrigens noch einfacher:

Der Abstand einer Ebene in Koordinatenform vom Ursprung, also ax+by+cz=d berechnet sich nach der Formel |d|/|(a/b/c)|, in Deinem Fall also 6/(3²+(-4)²)=6/5=1,2

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene derselbe wie der der gegebenen ist, sie also auch die Form 3x-4z=d hat, mußt Du nur die Gleichung 1,2+/-5=d/5 nach d auflösen:

1,2+5=d/5

d/5=6,2

d=31

oder:

1,2-5=d/5

-3,8=d/5

d=-19

Auch die Ebene 3x-4z=-19 erfüllt die Bedingung, einen Abstand von 5 Einheiten zu 3x-4z=6 zu besitzen.

Willy

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Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Was sind a und c? Koordinaten?

Am übersichtlichsten ist es mit der Hesseschen Normalform - hier braucht man nur den Normalenvektor entsprechend zu verlängern/verkürzen.

Sonst musst du einen Normalenvektor berechnen, der die Länge des gewünschten Abstandes hat.

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