Wie berechnet man den Abstand von 2 parallelen Ebenen?

Wenn ich zu einer Ebene E1 eine Parallele Ebene E2 mit dem Abstand 1 zu E1 bestimmen möchte geht man ja so vor:

man nimmt den Betrag des Normalenvektor von E1 und dividiert E1 durch diesen Betrag und schon hat man E2.

Meine eine Frage ist nun, wie gehe ich vor, wenn ich einen Abstand von 2 oder 3 erreichen möchte? Und die andere Frage: Da es ja immer 2 parallele Ebenen gibt möchte ich auch die 2. angeben. Wie macht man das? (einfach ein Minus davor schreiben?)

Answer 1

[stekum]

Beispiel: Die Ebene E mit der Gleichung 2x - 2y + z = 3 hat die Hessesche Normalform

⅓ (2x - 2y + z) = 1 und hat daher den Abstand 1 vom Ursprung . Die Ebenen

⅓ (2x - 2y + z) = 0 und ⅓ (2x - 2y + z) = 2 haben dann von E den Abstand 1, die

Ebenen ⅓ (2x - 2y + z) = - 1 und ⅓ (2x - 2y + z) = 3 den Abstand 2 usw.

Answer 2

[Joochen]

Du benutzt die Hessesche Normalform

 c * x1 = r1

Diese Ebene hat vom Ursprung den Abstand r1. c ist ihr Normaleneinheitsvektor.

Eine dazu im Abstand d paralle Ebene hat die Gleichung

 c * x2 = r1 +- d

Answer 3

[Ellejolka]

du hast die eine Ebene in Koordinaenform; zB E1 = 4x-6y+2z=7

dann nennst du die andere E2 = 4x-6y+2z=a

dann d= | -7/wurzel(4²+6²+2²) - -a/wurzel(4²+6²+2²) | = 2 bzw 3 bzw Abstand und löst nach a auf.