Drehstrom, wie rechne ich mit Winkeldrehung?
Ich habe gerade ein großes Problem, dass ich nicht verstehe wie man mit dem a rechnet. Vielleicht hatte das jemand schon gehabt und kann mir weiter helfen. In Anhang habe ich die Bilder
1 Antwort
a ist der Vektor, der die 3. Einheitswurzel im Komplexen darstellt.
Als 3. Einheitswurzel bezeichnet man jede komplexe Zahl z, für die gilt
z^3 = 1
und
z^1 ≠ 1, z^2 ≠ 1
Zwei komplexe Zahlen werden miteinander multipliziert, indem ihre Beträge multipliziert und ihre Winkel zur positiven reellen Achse addiert werden. (Such dir dazu besser ein paar Bilder im Internet, das ist mit Worten nicht so leicht zu beschreiben.)
Damit ist die Multiplikation mit eine komplexen Einheit - einer komplexen Zahl mit dem Betrag 1, einer komplexen Zahl auf dem Einheitskreis - gleich einer Drehung um den entsprechenden Winkel.
Als 3. Einheitswurzel hat a also den Winkel 120°. a^2 hat den Winkel 120° + 120° = 240° und a^3 hat den Vollwinkel 360°, der gleichbedeutend mit 0° ist.
j ist 4. Einheitswurzel und hat damit den Winkel 90°.
Weil 1/3 - 1/4 = 1/12 ist, kommt man auf 1/12 Vollwinkel, also 30°, mit a / j.
Da 1/j = -j ist, ist a/j = - j a.
Für die übrigen durch 30° teilbaren Winkel bekommt man durch ähnliche Überlegungen jeweils mehrere Ausdrücke; von diesen sucht man jeweils einen der einfachsten heraus - auf diese Weise ist die Tabelle mit den Winkeldrehungen entstanden.
Ok, ich habe (a-1) berechnet:
((-1/2 + 1/2*√3 j)-(1 + 0 j))=(-3/2 + 1/2*√3 j)
Man kann nun α = arctan(1/2*√3 / -3/2) + 180° = 150° berechnen (hier +180°, weil es im 4.Quadrant ist).
Meine Frage wäre jetzt, ob es noch eine weitere Möglichkeit gibt um die Rechnung zu lösen? und
woher bei (a-1)Ua = √3 Ua <150° die √3 herkommt?
Es gibt keine wesentlich verschiedene Möglichkeit, die Spannung zwischen zwei Phasen zu berechnen. Egal, wie man es anstellt, man hat immer die Differenz zwischen zwei gleich langen Vektoren, die um 120° gegeneinander verdreht sind.
Die √3 kommt daher, dass man die Länge (den Betrag) des Differenzvektors U_ab ausrechnet:
| -3/2 + 1/2 √3 j |
= √( (-3/2)^2 + (1/2 √3)^2 )
= √( 9/4 + 3/4 )
= √( 12/4 )
= √3
ah ok sehr gut, vielen Dank für Ihre Hilfe, der AHA-Effekt ist eingetreten :)
Wirklich vielen vielen Dank, ich habe nun das Prinzip verstanden, wieso es die Zahl gibt und wie die Tabelle zustande kommt.
Mir ist nur noch nicht ganz klar wie man (1-a^2)Ua berechnet. Ich vermute ich habe einen Fehler, wie ich mit der 1 rechnen soll.