Die Zahl 12 soll in drei Summanden zerlegt werden, dass deren Produkt maximal wird?
Meine Gleichung lautet derweil P(x,y) = x * y * (12-x-y)
weiter komme ich leider nicht
6 Antworten
Hallo,
f(x,y) = x*y*(12 - x - y) = 12*x*y - x²*y - x*y²
fx(x,y) = 12*y - 2*x*y - y²
fy(x,y) = 12*x - x² - 2*x*y
Man muss das folgende Gleichungssystem lösen:
12*y - 2*x*y - y² = 0
12*x - x² - 2*x*y = 0
Aus der zweiten Gleichung ergibt sich:
(12 - 2*y)*x - x² = 0
Eine Lösung davon wäre x = 0. Diese können wir vernachlässigen, sie führt zu einem minimalen Produkt von Null. Wenn aber x ungleich Null ist, dann dürfen wir durch x dividieren:
12 - 2*y - x = 0
x = 12 - 2*y
Das setzen wir in die erste Gleichung des obigen Gleichungssystems ein:
12*y - 2*(12 - 2*y)*y - y² = 0
12*y - 24*y + 4*y² - y² = 0
3*y² - 12*y = 0
y² - 4*y = 0
Auch hier entfällt die Lösung y = 0 und wir dürfen wieder durch y dividieren:
y - 4 = 0
y = 4
x = 12 - 2*y = 12 - 2*4 = 4
z = 12 - x - y = 12 - 4 - 4 = 4
Also x = y = z = 4 ist die Lösung!
Wenn nur positive Ergebnisse betrachtet werden, dann 4 4 4, es gibt so eine Regel, die besagt: Je "gleicher" die Zahlen desto größer das Ergebnis, bei zwei Summanden wäre 6 6 die beste Kombination, bei 4 Zahlen wären es 3 3 3 3 usw
Ohne weitere Einschränkung gibt es keine Lösung.
Beispiel :
2012 + (-1000) + (-1000) = 12
2012 * - 1000 * - 1000 = 2012000000
Das kann man beliebig so weiter spielen.
Ich vermute, dass außerdem gefordert ist, dass a, b, c alle jeweils größer als Null sein sollen.
Ja, das ist schon ein recht guter Ansatz. Nun muss man noch berechnen, wo P(x, y) maximal wird. Problem: Es gibt kein absolutes Maximum von P(x, y).
Man kann 12 = x + x + (12 - 2x) zerlegen, und das Produkt x ⋅ x ⋅ (12 - 2x) wird für x gegen -∞ unendlich groß. Ist vielleicht noch iregendeine Nebenbedingung gegeben? Beispielsweise dass die Summanden nicht-negativ sein sollen?
Hallo,
vorausgesetzt, die Summanden sind Elemente der Menge der natürlichen Zahlen:
Nebenbedingung:
x+y+z=12
Zielfunktion:
xyz=max.
Mit Lagrangeverfahren:
Funktion Phi:
xyz+λ*(x+y+z-12)
Nun die partiellen Ableitungen auf Null setzen:
∂x: yz+λ=0
∂y: xz+λ=0
∂z: xy+λ=0
∂λ: x+y+z-12=0
Aus den drei ersten Gleichungen ergibt sich, daß yz=xz=xy und damit x=y=z.
So läßt sich die vierte Gleichung zu 3x-12=0 umformen.
Daraus folgt:
x=y=z=4
Das maximale Produkt bekommst Du, wenn alle drei Summanden aus der Zahl 4 bestehen.
Herzliche Grüße,
Willy
Wobei man beachten sollte, dass bei (x, y, z) = (4, 4, 4) nur ein lokales Maximum vorliegt. Dies ist jedoch kein absolutes Maximum beispielsweise ist für (-4, -4, 20) das Produkt (-4) ⋅ (-4) ⋅ 20 = 320 größer als das Produkt 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64. (Außer man beschränkt sich auf nicht-negative Summanden, wovon aber nichts in der Fragestellung steht.)