Die Wahrscheinlickeit für dieses Ereignis?
Nehmen wir an wir hätten 19 Kugeln. 9 davon sind rot, 9 sind blau und eine Kugel ist weiß. Ich möchte exact diese Anordnung haben:
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Die roten in einer Reihe, dann die weiße und dann die ganzen blauen.
Die Anzahl der möglichen Kombinationen wäre (9! x 1 x 9!) /19. Allerdings ist es ja egal in welcher Reihenfolge die roten oder die blauen sind. Es ist beispielsweise uninteressant ob die erste blaue Kugel nun auf der ersten Position steht oder als letztes. Hauptsache alle blauen sind in einer Reihe. Wie rechne ich das nun aus?
4 Antworten
dass ich als zuerst eine rote Kugel ziehe: Wahrscheinlichkeit = 9/19. Dass ich dann wieder eine rote Kugel: Wahrscheinlichkeit = 8/18. an 3. Stelle will ich wieder eine rote Kugel: = 7/17, etc, etc.
An der 10. Stelle will ich die weisse Kugel: = 1/10. ab der 11. Stelle habe ich nur noch blaue Kugeln.
Das Ergebnis: Dann musst du nur noch alle diese Brüche miteinander multiplizieren, also: 9/19 * 8/18 * 7/17 * ....... * 1/10.
Auch hier: Es wird ja gar nicht berücksichtigt, welche Kugel wo liegt, sondern nur, dass da jeweils eine rote Kugel liegt. Ist also völlig ok so.
Was ist wenn man dies berücksichtigen würde? Wie sieht da die Rechnung aus? Wenn ich zum Beispiel die Kugeln von 1-19 nummeriere und sie in der Reihenfolge von 1-19 geordnet haben will.
Also alle Möglichkeiten sind doch Fakultät von 19.
Für die gewünschte Anordnung
Fakultät von 9 x 1 x Fakultät von 9
Und das zweite durch das erste teilen würd ich sagen
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste rot ist , ist 9/19. Dann ist eine rote weg. Die W., dass die 2. rot ist, ist 8/18, dann 7/17..
Insgesamt also 9/19 * 8/18 * 7/17 * 6/17 * 5/15 * 4/14 * 3/13 * 2/12 * 1/11
Analog die blauen:
9/10 * 8/9 " 7/8 * 6/7 * 5/6 * 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2.
Die letzte weiße steht fest.
Diese beiden Zeilen jetzt noch miteinander multiplizieren.
Kürzer: 9!/(19!/10!) * 9!/10! = 9!² * 10!/(19!*10!). = 9!²/19!
Also : 9!²/19!
Wenn du die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet hast, dass die ersten 9 rot sind und die in der Mitte weiß, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle weiteren blau sind, bereits 1 - denn andere Kugeln gibt es zu diesem Zeitpunkt ja gar nicht mehr.
Aber wird die Wahrscheinlichkeit nicht höher wenn ich nicht darauf achte wo die roten und blauen Kugeln liegen? Die 9 blauen Kugeln können ja in ihrer Reihe verteilt sein wie sie wollen. Die roten auch. Hauptsache sie stehen in einer Reihe.
Wie kommst du auf 9! * 1 * 9! / 19?
Überlege es dir einmal so:
Zunächst hast du 19 Möglichkeiten, die weiße Kugel zu platzieren. Dann sind noch 18 Plätze frei. Von diesen 18 Plätzen wählst du jetzt 9 aus und belegst sie mit einer beliebigen roten. Die anderen 9 kannst du dann nur noch mit blauen belegen, und schon bist du fertig.
D. h. die Anzahl der möglichen Belegungen ist
und genau eine davon ist die Belegung, die du haben willst.
Ja, aber du hast ja die Möglichkeit für alle Belegungen berechnet. Es ist ja egal ob die erste rote Kugel auf der ersten Position ist. Sie kann auch auf der dritten sein.
Nein, das habe ich gerade nicht. Ich habe ausgerechnet, wie viele Belegungen es gibt unter der Annahme, dass die Kugeln NICHT unterscheidbar sind. Ich frage ja nicht: Welche Kugel liegt auf welchen Plätzen, sondern ich frage: Wie kann ich 9 Plätze von den (nach der Auswahl des Platzes für die weiße Kugel) verbliebenen Plätzen aussuchen, die ich dann mit irgendwelchen roten Kugeln belegen kann. Welche rote Kugel das ist, spielt dann keine Rolle mehr.
Aber wird die Wahrscheinlichkeit nicht höher wenn ich nicht darauf achte wo die roten und blauen Kugeln liegen? Die 9 blauen Kugeln können ja in ihrer Reihe verteilt sein wie sie wollen. Die roten auch. Hauptsache sie stehen in einer Reihe.