darf man den limes auch auf komplette gleichungen anwenden?
wenn ich die gleichung
v^2 = (1/4) * a^2 * t^2 + a * r
habe, darf ich dann mit dem limes t gegen null streben lassen, also den limes auf die gesamte gleichung, linke und rechte seite, anwenden? also in etwa so:
lim t->0 (v^2 = (1/4) * a^2 * t^2 + a * r)
wie schreibt man dann mathematisch korrekt weiter? etwa so?
lim t->0 (v^2 = (1/4) * a^2 * t^2 + a * r)
= lim t->0 (v^2 = (1/4) * a^2 * 0 + a * r)
= lim t->0 (v^2 = a * r)
= (v^2 = a * r)
?
danke
4 Antworten
Prinzipiell natürlich schon. Man muss aber aufpassen, dass man auch exakt vorgeht und auch wirklich alles, wo die Grenzvariable drinsteht auch verwnedet wird. Bsp:
Es sei f(x)=sin(x)/x². Ohne Beweis: Es für t--> 0 (Ich schreib das hier nicht extra hin, wegen der Überscihtlichkeit ) gilt: lim f(x)=∞. Jetzt kann man natürlich das nicht einfach umformulieren uind dann genauso anwenden, d.h. f(x)* x=sin(x)--> lim(f(x)x)= lim(sin(x))--> f(0) 0=0 gibt jetzt natürlich keinen Sinn, weil halt auch das f(x) gegen ∞ geht und man das natürlich berücksichtigen muss. Das kann natürlich leicht passieren. Das kann sich auch in so einer Art Informationsverlust auswirken. Also: Insebesondere wenn die Variable irgendwo implizit drinsteht (also sowas wie f(x) ) muss man besonders aufpassen. Jetzt ist natürlcih die Frage, ob ds bei dir der Fall ist (also evtl v(t) ) odr ob v hier nur eine Konstante ist. Aber ansonsten geht das alles schon so wie du geschrieben hast und du kannst dann auch einfach den Limes getrennt auf jede Seite anwenden (schließlich muss das Gleichheitszeichen auch da gelten, zumindest wenn der Limes exisitert (nicht unendlich ist).
Evtl. kann es auch hilfreich sein die Grenzwertsätze http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Funktion%29#Grenzwerts.C3.A4tze zu verwenden.
"arrgh" hat bereits eine gute Antwort geliefert. Es gibt aber noch einen Aspekt, den ich an einem Beispiel beschreibe. Nehmen wir die Folge
x(n+1) = 2 * x(n) - 1
mit x(1) =2. Wenn man nun links und rechts den Limes für n --> unendlich bildet und den Grenzwert der Folge mit x bezeichnet so hat man nach Limesbildung
x = 2 * x - 1
also x = 1 . Dies ist aber offensichtlich falsch, da die Folge x(n) gegen unendlich strebt. Daher muss vor der Grenzwertbildung erst bewiesen werden, dass dieser tatsächlich existiert (jedenfalls auf einer Seite). Dies darf nicht ausser acht gelassen werden, da dies sonst zu Fehlschlüssen führen kann, wie das Beispiel zeigt.
ja das ist erlaubt.
Du kannst ja beliebig funktionen verschachteln was du im prinzip machst ist:
lim t->0(v(t)²)=limt->0((1/4) * a^2 * t^2 + a * r)
das heißt soviel wie: wenn du in v(t)² das t gegen 0 gehen lässt, dann kommt da ein ergebnis für v(0) raus
Du musst aber beachten, dass du dann eine speziellen funktionswert (nämlich den für t=0, also v(0)²) rausbekommst und keine allgemeine Lösung für v(t)²
lim t->0 (v^2)
= lim t->0 ((1/4) * a^2 * t^2 + a * r)
= lim t->0 ((1/4) * a^2 * t^2) + lim t->0 (a * r)
= a * r