Herleitung der Leibnitz Regel (Parameterintegral)?
Erstmal der Anfang:
Wird abgeleitet nach dt, sprich lim delta t -> 0
Ich komme bis hier hin:
Das gute Stück lässt sich hinten noch vereinfachen, also der Teil hinter dem limes:
Der HDI kommt jetzt ins Spiel:
f(z) = (F(b) - F(a))/(b-a), mit (b-a) multiplizieren, ich schnappe mir jetzt beispielhaft das erste Integral von b(t) bis b(t+ Δt) und setze Grenzen ein:
f(z)*(b(t+ Δt) - b(t)) = F(b(t + Δt)) - F(b(t))
f(z)*Δb = F(b(t + Δt) - F(b(t)), Δb ist ebenfalls ebenfalls gegen 0. Um den Satz dementsprechend zu vereinfachen, wird gesagt z sei b(t) und damit kann man am Ende einfach die Ableitung schreiben:
f(t,b(t)) db/dt, sowie beim nächsten, den limes habe ich jetzt reingezogen.
Wieso darf man einfach sagen, dass z dann b bzw. b(t) sein muss, das aus diesem Integral folgt = f(t,b(t)) db/dt
Klar, Δt strebt gegen 0, damit streben auch b(t+Δt) gegen b(t)
Kriegt das jemand für einen fast Abiturienten erklärt? xD
Mir fehlt nur noch dieses kleine Detail :(
1 Antwort
Vielleicht willst du diese Herleitung mal anschauen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Parameterintegral#Herleitung
Was du zu machen versuchst, durchschaue ich nicht so recht. Und ich glaube, in der zweiten langen Formel fehlt in der Klammer eine Division, sonst gibt das nämlich eine Null.
Ich verstehe das immer noch nicht:
Was soll das: f(z)*(b(t+ Δt) - b(t)) = F(b(t + Δt)) - F(b(t))
Du solltest das Integral ersetzten durch f(t+Δt,z)* (b(t+Δt) - b(t)) / Δt
Es ist b(t) <= z <= b(t+Δt). Beim Limes Δt gegen Null kommt dann das raus, was du suchst, f(t,b(t)) b'(t)
f(z)*(b(t+ Δt) - b(t)) = F(b(t + Δt)) - F(b(t))
Damit wollte ich: f(t+Δt,z)* (b(t+Δt) - b(t)) erreichen, (b(t+Δt) - b(t)) schrieb ich einfach als Δb
f(t+Δt,z)Δb / Δt, damit bin ich schon bei f(t+Δt,z)b'(t), der lim läuft gegen 0, also bin ich bei f(t,z)b'(t), mein Problem ist jetzt wieso darf ich dieses z durch b(t) ersetzen?
Es ist b(t) <= z <= b(t+Δt)
Du meinst das ist genau dazwischen? Könntest du das noch ein bisschen ausweiten wieso b(t) = z sein muss?, dann habe ich es verstanden :D
Es ist dazwischen wegen des Mittelwertsatzes der Integralrechnung. Mit Δt gegen 0 muss z gegen b(t) gehen.
Ach Mensch, ich dachte aus der Schule ich wüsste was der Mittelwertsatz ist!
Wir haben es so gelernt: (Integral von a nach b)/(b-a) = M,
tja dieses M ist aber nichts weiter als der Funktionswert der Funktion f(irgendwas), wobei irgendwas zwischen b und a liegen muss, damit weiß ich jetzt wie du darauf kamst, vielen Dank :)
Der Stern kommt in ein paar Stunden, sobald ich ihn vergeben kann :)
ach du meine güte bin ich doof, ja natürlich, ich muss noch durch 1/delta t teilen.
:( macht es jetzt halbwegs sinn? :D