Grenzwert von x^n*e^x bei lim von x->-∞?

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6 Antworten

Der Grenzwert für x gegen minus-Unendlich wird immer Null sein, egal wie groß Du das n wählst.

Nach der Regel von de l'Hospital ist der Grenzwert von f(x)/g(x) gleich dem Grenzwert von f'(x)/g'(x); hast Du dann immer noch sowas wie 0/0, unendlich/unendlich, ... kommen die nächsten Ableitungen dran usw.

In Deinem Beispiel hast Du für x<0 quasi x^n/e^|x|; leitest Du das n-mal ab hast Du n!/e^|x|. Davon der Grenzwert für x->minus-unendlich ist 0.

Es ist völlig egal, wie groß n ist, denn
exp(x) = 1 + x + … + xⁿ/n! + x^{n+1}/(n+1)! +…,
und so riesig n! auch ist, x wird irgendwann größer, sodass schon der (n+1)-Term xⁿ früher oder später übertrifft.
x^x wiederum ist keine Potenz-sondern eine Exponentialfunktion und lässt sich als
x^x = exp(x*ln(x))
schreiben.

x^x müsste schneller sein. Aber was der kleinste Exponent ist, der deiner Anforderung genügt, kann ich so auf Anhieb auch nicht sagen.

... x^(1/x) geht auch. :)

Suboptimierer 04.05.2016, 16:09

Ach Mist, das - for unendlich vergessen. :/

x^|x| ?

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Unendlich.

Eine Exponentialfunktion (mit Basis größer als 1 / positivem Vorfaktor im Exponenten) wächst stärker als jede Potenzfunktion.

Ahzmandius 04.05.2016, 19:38

Du hast was übersehen:

Es ist zwar e^x, aber x -> minus inf

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PWolff 04.05.2016, 19:42
@Ahzmandius

Natürlich gegen minus unendlich, sonst könnte der Grenzwert bei positivem Koeffizienten im Exponenten nicht 0 sein. Das Problem ist aber äquivalent mit Grenzwert unendlich für x -> +∞.

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Ahzmandius 04.05.2016, 20:16
@PWolff

PS: um die ganze Aufgabe lösen zu können, nimmt am Besten die Regel von L'Hospital.

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e-Funktion ist sowas wie superman, die besiegt alle x^n.

Die Antwort lautet: Für alle n ist lim_x->inf x^n e^{-x} = 0. Exponentialfunktionen sind halt schon krass.

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