Grenzwert von x^n*e^x bei lim von x->-∞?
Habe Ich die Funktion x^2e^x und bilde den Grenzwert für x-> -∞, dann ist der Grenzwert von x^2=∞ und e^x=0. Null "überwiegt" aber, sodass ich insgesamt einen Grenzwert von 0 habe (ich muss ja sozusagen ∞ 0 rechnen). Auch wenn ich die Funktion x^3e^x oder x^4e^x nehme, ist das Ergebnis gleich. Jetzt die Frage: wie groß muss die Potenz mindestens sein, damit e^x nicht mehr "überwiegt" und ich einen Grenzwert von - ∞ oder ∞ habe? Mathematisch also:
Was ist n mindestens bei x^ne^x; n ∈ ℕ (natürliche Zahl), wenn lim x-> - ∞ bei x^ne^x ≠ 0 ist? (bzw =-∞ oder =∞ je nachdem ob n gerade oder nicht ist)
5 Antworten
Der Grenzwert für x gegen minus-Unendlich wird immer Null sein, egal wie groß Du das n wählst.
Nach der Regel von de l'Hospital ist der Grenzwert von f(x)/g(x) gleich dem Grenzwert von f'(x)/g'(x); hast Du dann immer noch sowas wie 0/0, unendlich/unendlich, ... kommen die nächsten Ableitungen dran usw.
In Deinem Beispiel hast Du für x<0 quasi x^n/e^|x|; leitest Du das n-mal ab hast Du n!/e^|x|. Davon der Grenzwert für x->minus-unendlich ist 0.
x^x müsste schneller sein. Aber was der kleinste Exponent ist, der deiner Anforderung genügt, kann ich so auf Anhieb auch nicht sagen.
... x^(1/x) geht auch. :)
Es ist völlig egal, wie groß n ist, denn
exp(x) = 1 + x + … + xⁿ/n! + x^{n+1}/(n+1)! +…,
und so riesig n! auch ist, x wird irgendwann größer, sodass schon der (n+1)-Term xⁿ früher oder später übertrifft.
x^x wiederum ist keine Potenz-sondern eine Exponentialfunktion und lässt sich als
x^x = exp(x*ln(x))
schreiben.
Unendlich.
Eine Exponentialfunktion (mit Basis größer als 1 / positivem Vorfaktor im Exponenten) wächst stärker als jede Potenzfunktion.
Natürlich gegen minus unendlich, sonst könnte der Grenzwert bei positivem Koeffizienten im Exponenten nicht 0 sein. Das Problem ist aber äquivalent mit Grenzwert unendlich für x -> +∞.
e^-x: x->inf (1/e^x) = 0 <=> e^x: x->-inf(e^x)=0
Wenn du mir nicht glaubst, kannst ja z.B. bei Wolframalpha nachprüfen:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+x-%3E-inf(e%5Ex)
Und hier noch die gesamte Aufgabe:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+x-%3E-inf(x%5En*e%5Ex)
PS: um die ganze Aufgabe lösen zu können, nimmt am Besten die Regel von L'Hospital.
Die Antwort lautet: Für alle n ist lim_x->inf x^n e^{-x} = 0. Exponentialfunktionen sind halt schon krass.
Du hast was übersehen:
Es ist zwar e^x, aber x -> minus inf