Beweis Mathematik?
Hallo, ich habe zwei Fragen zu dem Beweis. Leider verstehe ich die grün markierten Stellen noch nicht vollständig.
Zu Teil b: Würden hier die Ausdrücke die im Unendlichen irrelevant sind, weggelassen, da X__n+1 nur eine Konstante ist? Wenn ja, müsste doch a auch ignoriert werden.
Zu c: Die Umformungen habe ich nachvollzogen. Wie man auf die grünen Schlussfolgerungen kommt, ist mir allerdings unklar.
2 Antworten
Bei der ersten grünen Passage (b) werden im Grenzübergang x_n und x_(n+1) durch x ersetzt.
Bei der zweiten (d) muss man nochmal eine Zeilen zurückgehen, auf die vorige Seite. Diese Gleichungskette ("x_(n+1) = ...") nimmt man hoch k. Dann hat man eine Abschätzung für x_(n+1)^k, nämlich x_(n+1)^k >= .... (x_n)^k * a / (x_n)^k).
(b) Man bildet auf beiden Seiten den Limes (dabei wurde vorausgesetzt, dass er existiert). Nach den Regeln für die Bildung des Limes kann man den Limes für die Terme x_n und x_(n+1) für sich bilden. d.h. man ersetzt beide durch x.
(d) (x_(n+1))^k = x^k ( .... )^k
Für die Klammer ( .... )^k wurde die Abschätzung >= a / (x_n)^k hergeleitet.
Zusammen macht das x_(n+1))^k = x^k * a / (x_n)^k = a
Ach klar, dann macht das natürlich Sinn, bin ich vielleicht dämlich. Ich habe aus dem nichts ein Gleichheitszeichen herbeifantasiert und angenommen, dass die erste Zeile nahtlos in die zweite übergeht, obwohl nur ein Teil des Terms abgeschätzt wird. Tausend Dank für die Erklärung, das wäre mir wohl erst nach einer Weile aufgefallen. Was die Abschätzung a/x_n^k <= 1 angeht, wäre es sehr nett, wenn Sie noch die diesbezügliche Erklärung von LUKEars auf ihre Korrektheit überprüfen könntest. Und zwar die verbesserte in seinem letzten Kommentar zu seiner ersten Antwort.
Jedenfalls vielen Dank, Sie haben mir sehr geholfen und mir ermöglicht, weiter in meinem Lehrbuch zu arbeiten.
Ich weiss nicht, welcher Kommentar gemeint ist, aber man kann ja einfach n+1 durch n ersetzen.
Stimmt. Wegen der vorausgesetzten Konvergenz, oder?
Also machen wir es ganz formal .... (x_(n+1))^k >= a ... wurde für n>0 bewiesen
Jetzt setzen wir m=n+1, dann .... (x_m)^k >= a ... für m > 0 (d.h. m >=1)
Jetzt setzen wir n=m, dann .... (x_n)^k >= a ... für n >=1
also ich würd sagen, dass der Unterschied zwischen
für immer größer werdendes n immer kleiner wird, so dass man sie für n gegen unendlich als gleich annehmen kann... Konvergenz ist ja schon vorausgesetzt....
Teil cwenn man die erste grüne Ungleichung auf beiden Seiten durch x_n^k teilt, dann kommt man wohl drauf, weil x_n^k kleiner/gleich x_{n+1}^k ist? oder? dadurch wäre dann
oder?
dann passt die Ungleichung wieder... man kann den Bruch also nach unten abschätzen mit 1. oder?
hab grad etwas n Knoten im Kopf...
Konvergenz ist ja schon vorausgesetzt...
... und wird unter c) bewiesen. Darum hätte ich erwartet, zunächst den Konvergenzbeweis vorzuziehen, statt nachzuschieben.
Zunächst danke für die Antwort. Das macht grundsätzlich Sinn, insbesondere der erste Teil. Nur beim zweiten Teil, würde doch eher das Gegenteil folgen. Denn in den nächsten paar Sätzen (siehe Foto3) steht, dass die Folge monoton fallend ist also x_(n+1) < x_n und damit wäre der Bruch größer als 1 oder woher lässt sich vermuten, dass x_n >= x_(n+1)?
f... dann hab ich es mal wieder verwechselt... du hast gut aufgepasst... 😋
nochmal nachdenken...
dann ist also x_{n+1}^k/x_n^k kleiner als 1... oder?
ich hab's... der Quotient ist egal... du teilst einfach beide Seiten durch x_{n+1}^k... dann ist die eine Seite 1 und die kleiner Seite teilst du dann doch nich durch x_{n+1}^k sondern durch das größere x_n^k...
aufatme...
oder? war es wieder Quatsch?
Hallo, erstmal danke für Ihre Antwort.
Das bedeutet bei Teil b für n --> ○○ darf man x_(n+1) = x_n annehmen, da der Fehler für größere n verschwindend gering wird, oder?
Zu Teil c:
Das habe ich mir zu Beginn auch gedacht. Aber wenn ich x_(n+1) mit k potenziere erhalte ich auf der anderen Seite der Ungleichung ja [a/x_n^k]^k = a^k/x_n^kk. Und dieser Ausdruck lässt sich doch nicht zu a umformen. Oder wo liegt hier mein Denkfehler?